注2二元函数的极限与一元函数的极限既有区别又有联系，请看例5. 例5求下列二元函数的极限 （1)m+y): 牌5 (3)cs) (x+3y) 分析(1)此类极限类似一元函数极限中的1型，可考虑转化为一元函数的极限来求 解：(2)可用夹逼定理米求：(3)可用变量代换 解Dm0+F=m0+gr=m0+列'=e=e. (2)因为x+y≥2x2y2,所以 则原非+引0，根指夫通定里，角原号=0. (3)令x=pcos8,y=psin8,则当x→0，y→0时，p=√R+y→0.于是 ht五-gPe0ta00@ (x2+3y2 p'(1+2sin0) sin2号 1+2sin29 因 o0ma p 故m+eF+西o. (x2+3y2y 例6时论番数：一，的连续性及间断点 1 解：是初等函数，因此当sinxsiny≠0，即x≠kπ且y≠k,T(k,k∈Z)时，函数连 续.函数的间断点的集合为 {xyx=k元，y∈R或kπ，x∈Rk,k∈Z}.注 2 二元函数的极限与一元函数的极限既有区别又有联系，请看例 5． 例 5 求下列二元函数的极限 （1） 1 ( , ) (0,1) lim (1 ) x x y xy → + ； （2） 2 2 4 4 ( , ) ( , ) lim x y x y →   x y + + ； （3） 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + ． 分析 （1）此类极限类似一元函数极限中的 1  型，可考虑转化为一元函数的极限来求 解；（2）可用夹逼定理来求；（3）可用变量代换． 解 （1） 1 1 1 1 lim 1 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) lim [(1 ) ] [lim (1 ) ]y y xy xy y x x y x y x y xy xy xy e e → → → → + = + = + = = ． （2） 因为 4 4 2 2 x y x y +  2 ，所以 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 1 1 1 0 2 2 x y x y x y x y x y + +      +   +   ， 则 2 2 ( , ) ( , ) 1 1 1 lim 0 x y →   2 x y     + =   ，根据夹逼定理，得 2 2 4 4 ( , ) ( , ) lim 0 x y x y →   x y + = + ． （3） 令 x y = =     cos , sin , 则当 x y → → 0, 0 时， 2 2  = + → x y 0 ．于是 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + = 3 3 3 4 2 2 0 (cos sin )(1 cos ) lim (1 2sin )      →   + − + 2 3 3 2 2 0 sin 2 cos sin 2lim (1 2sin )     →   + =  + ． 因 2 0 sin 2 lim 0   →  = ， 3 3 3 3 2 2 cos sin cos sin 2 (1 2sin )      +  +  + ， 故 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + =0． 例 6 讨论函数 1 sin sin z x y = 的连续性及间断点． 解 z 是初等函数，因此当 sin sin 0 x y  ，即 1 x k   且 2 1 2 y k k k Z    ( , ) 时，函数连 续．函数的间断点的集合为 ( , ) , , , x y x k y R y k ,x R k k Z =    1 2 1 2   或 =  ．