例4讨论m是否存在。 解当点Px)沿直线y=:趋向(0,0)时， 思兴，=德-点0小 当点P(x,y)沿曲线y=X-x趋向(0,0)时， 学品归妈只， 所似心号不存在 解此题时易犯的几种错误： 1 错误解法1 错解分析错误在于认为一（上}，其实并丰如此。 错误解法2因为分子为y,分母为x+y,分子是比分母高阶的无穷小，所以极限为 零. 错解分折其实亦不然，例知当c)沿=小+造于@0时，是，趋于 错误解法3，0。 错解分析这里的错误是(x,)→(0,0)没同时进行，先让y→0，再让x→0，这是另外 一种意义下的极限，即二次极限。 错误解法4令x=pcos8,y=psin8,当（化，）→(0,0)时，p→0， o2 cososino pcos0sin0 错解分析此解法错在：在p→0的过程中没把0看作变量，在求(x,)→(0,0)的极 限时，往往可作变换x=pcos0,y=psin0,原极限就转化为二元变量(p,)的函数当p→0 时的极限，这里应注意p、0都为变量，即在p→0的过程中，0也在变（若0不变而p→0 相当于点(x)沿某条射线趋向于(0,0). 注1在二重极限mx,)=A的定义中，要求（化）沿任何路径趋于(3，) 时，fx,)都要趋于A,因此，通常在证明该极限不存在时，选取两条不同的趋于()的 路径，当(x,y)沿这两条路径趋于（氏，）时，fx,)趋近于不同的值，即可说明极限不存 在。但是如果选取几条不同路径，即使每条沿(：，%)出发的路径趋于（化）时，x,)均 趋于同一值，也不能确保该极限存在，如例4， 例 4 讨论 ( , ) (0,0) lim x y xy → x y + 是否存在 ． 解 当点 P x y ( , ) 沿直线 y kx = 趋向 (0,0) 时， 0 0 0 lim lim lim 0 ( 1) y kx x x 1 x xy x kx kx k = → → x y x kx k →  = = =  − + + + ， 当点 P x y ( , ) 沿曲线 2 y x x = − 趋向 (0,0) 时， 2 2 2 0 0 0 ( ) 1 lim lim lim 1 y x x x x ( ) 1 x xy x x x x = − x y x x x → → → − − = = = − + + − ， 所以 ( , ) (0,0) lim x y xy → x y + 不存在． 解此题时易犯的几种错误： 错误解法１ ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 lim lim 0 x y x y 1 1 xy x y y x → → = = + + ． 错解分析 错误在于认为 ( , ) (0,0) 1 1 lim x y → y x     + =    ，其实并非如此． 错误解法２ 因为分子为 xy ，分母为 x y + ，分子是比分母高阶的无穷小，所以极限为 零． 错解分析 其实亦不然，例如当 ( , ) x y 沿 3 x t y t t = = − + , 趋于 (0,0) 时， xy x y + 趋于  ． 错误解法３ ( , ) (0,0) 0 0 0 0 lim lim lim 0 x y x x 0 xy x → → → x y x x  = = = + + ． 错解分析 这里的错误是 ( , ) (0,0) x y → 没同时进行，先让 y → 0, 再让 x → 0 ，这是另外 一种意义下的极限，即二次极限． 错误解法４ 令 x y = =     cos , sin , 当 ( , ) (0,0) x y → 时，  → 0, 2 ( , ) (0,0) 0 0 cos sin cos sin lim lim lim 0 x y (cos sin ) cos sin xy x y         → → →      = = = + + + ． 错解分析 此解法错在：在  →0 的过程中没把  看作变量，在求 （x y, ）→（0,0） 的极 限时，往往可作变换 x y = =     cos , sin , 原极限就转化为二元变量 ( , )   的函数当  →0 时的极限，这里应注意  、 都为变量，即在  →0 的过程中，  也在变（若  不变而  →0 相当于点 ( , ) x y 沿某条射线趋向于 (0,0) ）． 注 1 在二重极限 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = 的定义中，要求 ( , ) x y 沿任何路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 都要趋于 A，因此，通常在证明该极限不存在时，选取两条不同的趋于 0 0 ( , ) x y 的 路径，当 ( , ) x y 沿这两条路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 趋近于不同的值，即可说明极限不存 在．但是如果选取几条不同路径，即使每条沿 0 0 ( , ) x y 出发的路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 均 趋于同一值，也不能确保该极限存在，如例 4．