奥赛园地(第8期解答) 1.阅读下面材料: 解:(1)DE (2)证明:过点E作EF⊥AB,垂足为F 则∠BFE=∠DFE=90°=∠A=∠CDE ∵∠ADC+∠FDE=90°,∠FED+∠FDE=90°,∴∠ADC=∠FED ∵∠BFE=90°,∠B=30°,∴BE=2FE,∵BE=2AD,∴FE=AD 在△FED和△ADC中, ∠FED=∠ADC FE=AD ∠DFE=∠CAD ∴△FED≌△ADC(ASA).∴DE=CD (3)如解图 CD D F G B 第1题解图 第2题解图① 第2题解图② 第6题解图③ 过点E作BC的平行线,与AB、AC分别相交与点F、G ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45° ∵FG∥BC,∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°,∠BFE=∠EGC=135°∴AF=AG,BF=GC ∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE,∠CEB=∠EFB=135°, FBE=∠GEC,∴△BFE∽△EGC, BE BF FE FG∥BC,∴△AFE∽△ABD,△AEG∽△ADC FE AE CE EG GC BD AD ·段 BD=2DC,: FE=2EG,: BF-EF-2EG, BF==V2,:BE-BF-V2 2.(1)证明:如解图①所示 ∵PC=BC,∠BCP=90°,∴BP=VEBC 又∵矩形ABCD为“标准矩形”,∴AB=VEBC,∴AB=BP (2)解:如解图②,作点Q关于直线BC对称的点F,连接AF交BC于点E,连接QE、GF, DQ=CP,∴CQ=DP=CF且AQ为定值,∴EQ=EF,GQ=GF ∵AQ为定值,要使△AGQ的周长最小,∴只需AG+GQ=AG+GF最小 显然AG+GF≥AF=AE+EF=AE+EQ,即当点G与点E重合时,△AGQ的周长最小, 此时G=CE=CE=DP,…∵DP=CD=Cn=4B=BC=1-BC=1-业2, GB EB ABAB AB 当△AGQ的周长最小时 (3)证明:如解图③,连接TN、TM、MN,MN交AF于点K,连接KT, 由(2)可知,CF=DP,∴PF=AB且PF∥AB,∴四边形ABFP为平行四边形 又由PM=BN,∴MF=AN,∴△MFK≌△MAK(AAS),∴点K为AF与MN的中点 又∵点T为BF的中点,∴KT为△EAB的中位线,∴S△FKr=S△MK=S△TKN △FKT==△FAB 平行四边形ABFP △MNT的面积S为定值,这个定值为奥赛园地（第 8 期解答） 1. 阅读下面材料： 解：（1）DE； （2）证明：过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F， 则∠BFE＝∠DFE＝90°＝∠A＝∠CDE， ∵∠ADC＋∠FDE＝90°，∠FED＋∠FDE＝90°，∴∠ADC＝∠FED， ∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，∴BE＝2FE，∵BE＝2AD，∴FE＝AD， 在△FED 和△ADC 中，    ∠FED＝∠ADC FE＝AD ∠DFE＝∠CAD ， ∴△FED≌△ADC(ASA)．∴ DE＝CD; （3）如解图， 第 1 题解图 第 2 题解图① 第 2 题解图② 第 6 题解图③ 过点 E 作 BC 的平行线，与 AB、AC 分别相交与点 F、G. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵FG∥BC，∴∠AFG＝∠ABC＝∠ACB＝∠AGF＝45°，∠BFE＝∠EGC＝135°.∴AF＝AG，BF＝GC. ∵∠GEC＋∠CEB＝∠GEB＝∠EFB＋∠FBE，∠CEB＝∠EFB＝135°，∴∠FBE＝∠GEC，∴△BFE∽△EGC， ∴ BE CE＝ BF EG＝ FE GC，∵FG∥BC，∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，∴ FE BD＝ AE AD， AE AD＝ EG DC，∴ FE BD＝ EG DC， ∵BD＝2DC，∴FE＝2EG，∴ BF EG＝ EF CG＝ 2EG BF ，∴ BF EG＝ 2，∴ BE CE＝ BF EG＝ 2. 2. （1）证明：如解图①所示， ∵PC＝BC，∠BCP＝90°，∴BP＝ 2BC， 又∵矩形 ABCD 为“标准矩形”，∴AB＝ 2BC，∴AB＝BP； （2）解：如解图②，作点 Q 关于直线 BC 对称的点 F，连接 AF 交 BC 于点 E，连接 QE、GF， ∵DQ＝CP，∴CQ＝DP＝CF 且 AQ 为定值，∴EQ＝EF，GQ＝GF， ∵AQ 为定值，要使△AGQ 的周长最小，∴只需 AG＋GQ＝AG＋GF 最小， 显然 AG＋GF≥AF＝AE＋EF＝AE＋EQ，即当点 G 与点 E 重合时，△AGQ 的周长最小， 此时CG GB＝ CE EB＝ CF AB＝ DP AB，∵ DP AB＝ CD－CP AB ＝ AB－BC AB ＝1－ BC AB＝1－ 2 2 ， ∴当△AGQ 的周长最小时CG GB＝1－ 2 2 ； （3）证明：如解图③，连接 TN、TM、MN，MN 交 AF 于点 K，连接 KT， 由(2)可知，CF＝DP，∴PF＝AB 且 PF∥AB，∴四边形 ABFP 为平行四边形， 又由 PM＝BN，∴MF＝AN，∴△MFK≌△NAK(AAS)，∴点 K 为 AF 与 MN 的中点， 又∵点 T 为 BF 的中点，∴KT 为△FAB 的中位线，∴S△FKT＝S△TMK＝S△TKN， ∴S△MNT＝2S△FKT＝ 1 2 S△FAB＝ 1 4 S 平行四边形 ABFP＝ 1 4 × 2＝ 2 4 ， ∴△MNT 的面积 S 为定值，这个定值为 2 4