sin oT sin ot 20动tisn 因此有“xm=号={2mx 0,|t卜>x 4.已知某函数f()的傅氏变换为F()=52,求该函数f0 解f0=1-Fod=n(oako ~s0m,如m(,(1- I too sin o +msin(1+no+ cos oddo= 而由 2a=2得 当n>0时,C当d=Ch=hx= top sin u@ 当u<0时, w sin(uko d 当:0时,5如=所以)试有 ItKI ()={1.1+ 0,|t>1 5.已知某函数的傅氏变换为F(O)=m[b(+a)+o(a-a),求该函数f()。 解f()=2F(oyd=厂8o+)+6-l-d e le teler =COS@o! t<0 6.求符号函数(又称正负号函数)sgnt= 的傅氏变换。 解符号函数不满足傅氏积分定理的条件,显然广|sgn|dh→+a0不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取f()={01=0,且sgnt=limf,(),F[sgnl= :lim Fl(O,而 n→a n→ f(1)满足傅氏积分定理的条件,且 Flol=s[m(]/(e"io dt=e"ne-iondt-Lengerindt 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ − + = − − = 0 2 2 1 2 sin sin cos isin 1 i sin ω ω ωπ ω π ω ω ω ω ωπ π d t t t d 因此有 ( ) ∫+∞ ⎪⎩⎪⎨⎧ >≤ = = 0 − 2 0 , | | sin , | | 2 1 2 sin sin ππ π π ω ω ωπ ω t t t d f t t 4．已知某函 数 f ( t )的傅氏变换为 F( ) ω = si n ωω ，求该函数 f ( t ) 。 解 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = = ω + ω ω ωω π ω ω π ω f t F e d t t d t cos isin sin 21 21 i ( ) 0 1 s i n 1 sin( 1 ) sin 1 co s 2 2 t t td d ω ω ω ω ω ω π ω π ω +∞ +∞ −∞ + + − = = ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ − + + = 0 0 sin 1 2 sin 1 1 21 ω ω ω π ω ω ω π d t d t （ * ） 而由 ∫ +∞ = 0 2 sin π dx x x 得 当 u > 0时，∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ = = = 0 0 0 2 sin sin sin π ω ωω ω ω ω dx x x du u u d u 当 u < 0 时， ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ = − − = − 0 0 2 sin sin π ω ω ω ω ω ω d u d u 当 u = 0 时， 0 sin 0, u d ω ω ω +∞ = ∫ 所以由(* )式有 ( ) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ >=< = 0 , | | 1 , | | 1 41 , | | 1 21 ttt f t 5．已知某函数的傅氏变换为 0 F( ) [ ( ) ( ) ] ω π δ ω ω 0 = + +δ ω −ω ，求该函数 f ( t ) 。 解 ( ) ( ) i i 0 0 1 1 [ ( ) ( ) ] 2 2 t t f t F e d e d ω ω ω ω π δ ω ω δ ω ω π π +∞ +∞ −∞ − ∞ = = + + − ∫ ∫ ω 0 0 -i i 0 cos 2 t t e e t ω ω ω + = = 6．求符号函数（又称正负号函数） 1, 0 sgn | | 1, 0 t t t t t ⎧ − < = = ⎨⎩ > 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然 不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定 义。首先注 意到可取 ，且 | s g n t d| t +∞ −∞ → + ∞ ∫ / / , 0 ( ) 0 00 t n n t n e t f t t e t − ⎧ > ⎪ = = ⎨⎪− < ⎩ sgn lim ( ) n n t f t →∞ = ， [sgn ] l i m [ ( )]，而 df n n F t F f t →∞ = ( ) nf t 满足傅氏积分定理的条件，且 [ ] Fn ω = ¶ ( ) ( ) 0 i / i / 0 t t n t t n n i t f t f t e dt e e dt e e dt ω ω +∞ +∞ − − − −∞ −∞ ⎡ ⎤ = = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ − ω