拉格朗日四平方数定理任何正整数都可以表示为四个平方数之和. 注11.1743年，欧拉证明了两个四平方数之积仍是四平方数，即著名的 恒等式 (a2+b2+c2+d)(x2+y2+z2+w2)=(ax+by+cz+du)2+(ay- bx+cw-dz)2+(az-bw-cx+dy)2+(aw+bz-cy-d)2 利用欧拉恒等式，只需对奇素数证明四平方数定理即可.最终，拉格朗 日和欧拉分别于1770年和1773年完成了各自的证明. 四平方数定理可以换个说法，即四元齐二次多项式x2+y2+z2+w2可 以表示任何正整数，然而将所有正整数的四平方数的和的表达式都写出来是 不现实的，所以真正的问题在于：有什么简单的办法可以判断这个结果？ 14✳❶❑❋♦➨➄ê➼♥ ❄Û✔✒êÑ➀➧▲➠➃♦❻➨➄ê❷Ú. ✺11. 1743❝➜î✳②➨✡ü❻♦➨➄ê❷➮❊➫♦➨➄ê➜❂❮➯✛ ð✤➟ (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ) = (ax + by + cz + dw) 2 + (ay − bx + cw − dz) 2 + (az − bw − cx + dy) 2 + (aw + bz − cy − dx) 2 ⑤❫î✳ð✤➟➜➄■éÛ❷ê②➨♦➨➄ê➼♥❂➀. ⑩➟➜✳❶❑ ❋Úî✳➞❖✉1770❝Ú1773❝✑↕✡❼❣✛②➨. ♦➨➄ê➼♥➀➧❺❻❵④➜❂♦✄à✓❣õ➅➟x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ➀ ➧▲➠❄Û✔✒ê, ✱✌ò↕❦✔✒ê✛♦➨➄ê✛Ú✛▲❼➟Ñ✕Ñ✺➫ Ø②➣✛, ↕➧ý✔✛➥❑✸✉➭❦➓♦④ü✛➁④➀➧✞äù❻✭❏➸ 14