12.1弦的横振动方程 第3页 其中p是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 at a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds- dr du2tdr2-dx 所以,在准确到∂u/ar的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变 化.因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作 位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 a-u a1 Toady+fdr 因此 -- 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力§12.1 弦的横振动方程 第 3 页 即 ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中ρ是弦的线密度(单位长度的质量)．定义 a = r T ρ , 则方程可以写成 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a就是弦的振动传播速度． 还可以证明：在小振动近似下，张力T与t无关．这是因为弦元的伸长 ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx =   s 1 + µ ∂u ∂x¶2 − 1   dx = O µ µ∂u ∂x¶2 ¶ , 所以，在准确到∂u/∂x的一级项(即小振动近似)的条件下，弦元的长度不随时间变 化．因此，按照Hooke定律，T也不随时间变化． 前面又已经证明过，T也不随x变化，所以T是一个常数． 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用，设单位长度所受的外力为f，则仿照 前面的推导，有 ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. 因此， ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , 其中的非齐次项f /ρ是单位质量所受的外力．