12.1弦的横振动方程 §121弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上 作小振动.列出弦的横振动方程 图121 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为的弦上一点在时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dr的一小段(弦 ).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力——张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)z= dn (T cos 0)x+dz -(T cos O)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dx,t)-a(x,t),与dx相 比是一个小量,即 Jau/ax<1 在小振动近似下, sinb≈tan6 略去了“的三级项 略去了一一的二级项 这样,就有 (T)x+dx-(T)x=0 (T)x 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 2=T(§12.1 弦的横振动方程 第 2 页 §12.1 弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上 作小振动．列出弦的横振动方程． 图12.1 弦的横振动 tan θ1 = µ ∂u ∂x ¶ x , tan θ2 = µ ∂u ∂x ¶ x+dx 取弦的平衡位置为x轴，且令端点坐标为x = 0与x = l． 设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元)．弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点． 分析弦元受力：它在两个端点x及x + dx处受到张力的作用． 因为弦是完全柔软的，故只受到切向应力 张力T的作用，而没有法向应力．同 时，略去了重力的作用． 因此有 (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. 小振动近似：x+ dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+ dx, t)−u(x, t)，与dx相 比是一个小量，即 |∂u/∂x| ¿ 1. 在小振动近似下， sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x µ 略去了 ∂u ∂x的三级项 ¶ , cos θ ≈ 1 µ 略去了 ∂u ∂x的二级项 ¶ . 这样，就有 (T)x+dx − (T)x = 0 即 (T)x+dx = (T)x, 说明T不随x变化，弦中各点的张力相等．于是， ρdx ∂ 2u ∂t2 = T "µ ∂u ∂x¶ x+dx − µ ∂u ∂x¶ x # = T ∂ 2u ∂x2 dx