f()= ∫0)e-da0=-- e-iedteedo 厂(- I (+ sin ot (2t cos ot 2sin at ! sin ot cos male do 2(sin @-ocosoledo=- 4 r+oo sin @-@coso cos oddo (2)f()= 0,t<0 lesn2,t≥0 满足傅氏积分定理的条件,其傅氏积分公式为 ()=2厂 te-le dtelerdo= a e"sin 2teidte'iodo e dedo -i( 2+e) )dte do 4 [-1+i(2-o) 2+o)y 1+1 1(2+ 4x1J--1+1(2-o)-1-1(2 de o2)-2 丌J-x25-6o2+ 4(cos ot+isin ot da +o 5-02)cos @t 2o sin at do+o -@ )sin at-2@ cos ot t+eosin ot do (3)函数f()={1.0<1<1是奇函数,满足傅氏积分定理的条件,其傅氏积分公式为 0,其他 (=-"〔 f(e" le"dte" yo ( sin otte do -ill- sin orde do=_oue'do 在/()的间断点62=-101处以(+0)+/(-代替 3.求下列函数的傅氏变换,并推证下列积分结果。 (1)f()=e刚(B>0),证明 cos or d (2)f() =e cost 证明[+4os)=cs( ) ( ) 1 i i 2 t t f t f t e dte d ω ω ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 2 i i 1 1 1 2 t t t e dte d ω ω ω π +∞ − −∞ − = − ∫ ∫ ( ) 1 2 i 0 1 1 cos t t tdte d 1 2 i 2 3 0 1 sin 2 cos 2sin sin t t t t t t t e d ω ω ω ω ω ω π ω ω ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − + ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ] ω ω ω π +∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) i 3 1 2 sin cos t e d ω ω ω ω ω π ω +∞ −∞ − = ∫ 3 0 4 sin cos cos td ω ω ω ω ω π ω +∞ − = ∫ （2） ( ) 满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = − sin 2 , 0 0, 0 e t t t f t t ( ) ( ) i i i i 0 1 1 sin 2 2 2 t t t t t f t f t e dte d e te dt ω ω ω ω ω e dω π π +∞ +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∫ ∫ − i2 i2 i i 0 1 2 2i t t t t t e d e e e e dt ω ω ω π − +∞ +∞ − − −∞ − = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) i 2 i 2 i 0 1 4 i t t t t t e e dte ω ω ω dω π +∞ +∞ − + − − − + −∞ = − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i 2 1 i 2 i 0 1 4 i 1 i 2 1 i 2 t t e e t e d ω ω ω ω π ω ω +∞ ⎡ ⎤ − + − ⎡ ⎤ − − + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +∞ −∞ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − + − − − + ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 i 4 i 1 i 2 1 i 2 t e d ω ω π ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ − − = − ⎢ ⎥ − + − − − + ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 2 2 4 1 5 2 i cos isin 25 6 t t ω ω ω ω ωd π ω ω +∞ −∞ − − = + − + ∫ ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 1 i 5 cos 2 sin 5 sin 2 cos 25 6 25 6 t t t t d d ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π ω ω π ω ω +∞ +∞ −∞ −∞ − + − − = + − + − + ∫ ∫ ( ) 2 2 4 0 2 5 cos 2 sin 25 6 t t d ω ω ω ω ω π ω ω +∞ − + = − + ∫ （3）函数 ( ) ，满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < − − < < = 是奇函数 0, 其他 1, 0 1 1, 1 0 t t f t ( ) ( ) ( ) i i i 0 1 1 sin 2 i t t t f t f t e dte d f t tdt ω ω ω ω ω ω e d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 i i 0 1 1 1 1 sin i i t t tdte d e d ω ω cosω ω ω ω π π +∞ +∞ −∞ −∞ ω − = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ω ω ω ω π sin td 2 1 cos ∫0 +∞ − = 在 f ( )t 的间断点t0 = −1,0,1处以 ( ) ( ) 2 f t0 + 0 + f t0 − 0 代替。 3．求下列函数的傅氏变换，并推证下列积分结果。 （1） | | ( ) t f t e−β = （ β > 0 ），证明 | | 2 2 0 cos 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （2） f ( )t = e−|t| cost ，证明 ( ) ∫ +∞ − = + + 0 | | 4 2 cos 2 cos 4 2 t d e t π t ω ω ω ω