8.函数及其性质 5 IV 系.显然数学家们认为就所讨论的问题而言他们是立足于可靠的 基础之上的 Cauchy在他1821年的书中是从定义变量开始的.“人们把 依次取许多互不相同的值的量叫做变量.”至于函数的概念，“当变 量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中一个的值，就可 以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中 的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示 的其它量就叫做这个自变量的函数.”℃auchy也清楚无穷级数是 规定函数的一种方法，但是对函数说来不一定要有解析表达式 在一篇关于Fourier级数的论文g用正弦和余弦级数来表示 完全任意的函数（心ber die Darstellung ganz willkirlioher Funotionen durch Sinus-und Cosinusreihen),(这篇文章我们将 来还要谈到)中，Diriohlet给出了（单值）函数的定义，这个定义是 现今最常用的，即如果对于给定区间上的每一个如的值有唯一的 一个y的值同它对应，那么y就是x的一个函数.接下去他又说， 至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于心，或者y 依赖于心是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的.事实上， 在1829年1，他给出了x的一个函数的例子，它对一切有理数取 值c而对一切无理数取值d. Hankel指出，至少在十九世纪的上半世纪，最好的教科书中 在讲到函数概念是什么的时候是混乱的.一些书本质上按Dr 的意义定义函数：另一些书则要求y随x依某一规律而变化，但是 又没说规律的含义是什么；有些书则采用了Dirichlet的定义；还 有一些书则不给定义.但是由他们的定义推出的结论并不逻辑地 蕴含在这些定义中. 连续和间断之间特有的区别逐渐显现出来了.对函数性质的 (Eepertorinm der Plysik,1,1837,152~174-Werke,1,135~160. (10)Jour.fur Math.,4,1829,157~169-Were,1,117~132