IV 4 第40章分析中注入严密性 在Gauss的早期著作中函数指的是一个封闭的（有限解析的） 表达式，而当他谈到超几何级数F(a,B,Y,)作为c,B,y和 的函数时，他用注解来确定它的意义说：“在这个范围内能认为它 是一个函数.”Lagrange在把幂级数看成函数时早就采用了一个 更广的概念.在他的《解析力学(M6 canique analytiquo,1811~ 181)第二版中，他用函数一词来表示几乎是任何类型的对一个或 多个变量的依赖关系，甚至在La0roix1797年的《专著》中早就引 入了一个更广的概念.他在引论中说：“每一个量，若其值依赖于一 个或几个别的量，就称它为后者（这个或这些量）的函数，不管人们 知不知道用何种必要的运算可以从后者得到前者.”作为一个例 子，Lacroix把一个五阶方程的一个根作为该方程系数的函数. Fourier的工作甚至更广泛地展现了函数究竟是什么的问题. 一方面他主张函数不必表示为任何解析表达式.他在他的《热的解 析理论》(The Analytical Theory of Heat)中说：“通常，函数f(x) 表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的… 我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；它们以任何方式一 个挨着一个….”实际上，他只讨论了在任一有限区间上具有有 限个间断点的函数.另一方面，在某种程度上Fourier支持函数 必须用二个解析表达式来表示的论点，即使这个表达式是一个 Fourier级数.`无论如何，Fourier的工作是动摇了十八世纪的这 样一个信念，即所有函数无论它们怎么坏总都是代数函数的推广 代数函数，甚至初等超越函数，都不再是函数的原型了.由于代数 函数的性质不再能搬到一切函数上去，所以人们说的函数、连续、 可微性、可积性以及其它性质的真实意义究竟是什么的问题就提 出来了」 在许多人从事的分析的积极重建中，实数系被认为是当然没 有问题的.没有人企图去分析实数系的结构或逻辑地建立实数 (8)英译本，p.430,Dover(蓝印)，1955