2.函数及其性质 3 IV integral)同Cauchy的代数分析教程》相比较，就开始看到十八 和十九世纪的数学之间的明显不同.特别要指出，Lagrange纯粹 是形式的.他用符号表达式来进行运算.在他那里没有极限、连 续等根本性的概念 Cauohy在他的1821年著作的导言中说得非常明白，他企图 给分析以严密性。他指出对一切函数自由地使用那些只有代数函 数才有的性质以及使用发散级数都是不合法的.虽然Cauchy的 工作只基迈向严密化方向的一步，他自己却相信而且在《概论》 (Resume)中说他已经把分析的严密化进行到底了.至少对初等 函数，可以说他确实开始给出了定理的确切证明并作出了有适当 限制的断言.Abel在他1826年关于二项式的论文中赞扬Cauohy 的成就：“每一个在数学研究中喜欢严密性的人都应该读这本杰 出的著作[分析教程].”Cauchy抛奔了Euler的显式表示和 Lagrange的幂级数而引进了处理函数的新概念. 2.函数及其性质 十八世纪的数学家大多相信一个函数必须处处都有相同的解 析表达式.在十八世纪的后半叶，很大程度上作为弦振动问题上 争论的一个结果，Euler和Lagrange允许函数在不同的区域上具 有不同的表达式，而且在那些有同一表达式的点上用连续这个词， 而在那些改变了表达式形式的点上用不连续这个词（虽然在现代 意义上讲整个函数可能都是连续的).当Euler、.d'Alembert和 Lagrange不得不重新考虑函数的概念时，他们既没有得到任何广 泛被采用的定义，也没有解决什么样的函数可以用三角级数来表 示的问题，但是多方面的逐渐发展以及函数的应用迫使数学家接 受一个更广的概念。 、()3vols.,1sted,1797~1800;2udcd.,1810~1819