高等数学教案 第七章微分方程 那么在-R<x<R内方程(3)必有形如y=】 a,的解，（证明：路） 例2.求微分方程y”-y=0满足初始条件川0=0，y叫x0=1的特解。 解：这里P(x)=0,Q(x)=一x,在整个数轴上满足定理的条件，因此所求的解可在整 个数轴上展开成x的幂级数y=44+4,+.0以”+=∑ax…倒) n=0 由初始条件yxo=0,得a。=0,对上面级数逐项求导，有 y-a +2ax+3+..n>na,x: 由初始条件yo=1,得a,=1,于是所求方程的幂级数解y及y'的形式成为： y=xd( =2 y=l+2a,+3a,2++nqx+=1+na,…2:对级数2逐项求导， 得"-24+3-24，r+t0-ax2+=2n0n-10a,x-2(g) =2 把(2)(3)代入所给方程，并按x的升幂集项。得 24+3·24x+(43a-).+H0+2)1+)42a]cn”+..=0,又因为幂级数(*)是方程的 解，上式必然是恒等式，因此方程左端各项的系数必全为零，从而有： 1 a2=0,a3=0,a4 4.3a=0,a6=0 一般的a20m+2)n+0 a-（n=3,4,5)从递推公式得出：am=am=0, am13m+13m7.64-3m=l2)于是所求的特解为： y=x+ 十… 4.37.64.3 十…十 (3m+1)3m.7.6·4,3 例3.求解勒让德方程(1一x2)y"-2xy"+n(n+1)y=0,其中n为常数。 (学生自己完成)。 三、本节小结： 本节我们主要学习了欧拉方程和微分方程的幂级数解法，重在一些细节的处理。 3