高等数学教案 第七章微分方程 其特征方程为：r3-2r2-3r=0,它有三个根：片=0,5=-1,5=3. 于是方程(3)的通解为Y=C,+C,e+C,e'=C+9+Cx, 特解的形式为y广=be2”=bx2代入原方程求得b=-】 >、即=一x2 于是所给欧拉方程的通解为：Y=C,+C+C,x-x2。 2 说明：从上面的例题可以看出，求解欧拉方程的重点是作变量替换。 二、微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时，我们就要寻求其他的解法。常用的有 幂级数解法和数值解法。这里我们学习其中的第一种。 （一)求一阶微分方程少=fx,)满足初始条件=八，的特解，其中函数f代c) dx 是(x-x)0y-%)的多项式：fx)=a0+4x-)+40-%)+.+amx-七)'0y-%)"。 解法：①我们可以先设所求特解可展成为X一x。的幂级数： y=%十4-x)+42(K-x)+.+a,-x)”+…(2),其中a1,a2,…am.…是待定的系数。 ②把(2)式代入一阶微分方程少=fx,少，比较恒等式两端(：-)的同次幂的系数， d 就可定出常数a,a2,口m,以这些常数为系数的级数(2)在收敛区间内就是微分方程 少=f(化，)满足初始条件：，=的特解。 d 例1.求方程少=x+y2满足小=0的特解。 dx 解：此时x=%=0,故设y=4x+2++ax”+。且=q+24x++nqX+将其代 入原方程，得 a+2☑，x+3a,2+.+nqx+=x+(a-x+ax2++ax”+.}, 由此比较恒等式两端x同次幂的系数，得a=0,a=)4=0,a=0,a=20…, 1 1 1 于是所求解级数得幂级数展开式得开始儿项为：y=。x2+。x+。 2 20 (二)求二阶齐次线性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0….(3) 这里用幂级数求解得问题我们先叙述一个定理： 定理：如果方程(3)中得系数P(x)与Q(x)可在-R<x<R内展开为X的幂级数， 2