高等数学教案 第七章微分方程 第九节欧拉方程 教学内容：欧拉方程的形式与解法 教学目标：掌握欧拉方程的形式与解法 教学重点：欧拉方程的形式与解法 教学难点：欧拉方程的形式与解法 教学方法：讲授法 作业：P3492:6:8 教学过程： 一、欧拉方程 引入：变系数的线性微分方程一般来说都是不好解的，但是有些特殊的变系数的微分方 程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中一种。 定义：形如x”ym+p,x”一y-+…+p-y+Pny=f(x)(1)的方程（其中p1,P2…Pn 为常数)，叫欧拉方程。 做变换 x=e或1=h,将自变量x换成t,我们就有少-少.d业=I少 dx dt dx x dt =少，- d2x2（dh2- +2 dt dt 如果采用记号D表示对t求导的运算￠，那么上述计算结果可以写成 dt x=Dy.xy=d'y_dd d ddi=y=(D-D)y=D(D-Dy =（ -3+=D-n+20p=XD-XD-2y x'y=dy-3dy dt 般地，有xy)=D(D-1).…(D-k-1)y。把它代入欧拉方程(1)便得到一个以t 为自变量的常系数线性微分方程。在求出此方程的解后，把t换成lx,即得到原方程的解。 例1.求欧拉方程x3y"+x2y"4xy'=3x2的通解。 解：作变化x=e'或t=nx,原方程化为 D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e2,即D3y-2D2y-3Dy=3e2',或 y-2-3血 =3e21… di-2dy 方程(2)所对应的齐次方程为 33 =0…(3) dt