11,设E,E1是巴拿赫空间,T是E到E2的一对一的 线性有界 算子,证明T-1:R(T)→E是有界的充分必要条件是;R(T) 为E1的闭子空间 紅必要性设T-1有界,任取v∈R(T),那么存在 {Bn}cR(T),使 M→>〗( 合x=T1,由于T1有界,E是闭的,故 x=TL→T1(→∞); 从而 y=T(T-1)∈R(T), 因此R(T)是E:的闭子空间 充分性设R(T)是E,的闭子茎问,则R(T)也是巴拿 空间,因而T是巴拿赫空间E到R(T)上的一对一的线性 有界算子,由巴拿赫逆算子定理,T有线性有界的逆算子T R(T)→E 12.设E,E是赋范空间,T是D(T)cE到E1的线 性算子,如果T1存在,证明T是闭算子的充分必要条件 是T1是闭算子 作F+E到E11E的映射S如下 S:(x,”)→(1,x)∈E,∈E, 容易看出S是E1+E上的拓扑映射 Gr={(x,Tx):∈D(T)}, Gr{(Tx,z)z∈D(T)}, 则G2=SGr,因此Gr是EE1中的闭子宏问等价于Gr为 E1+E中的闭子空间,故T是闭算子的充分必要条件是T1 为闭算子 返回返回