例1:实对称矩阵的分解问题 问题1: 如何将一个秩为r的矩阵4表示为r个秩为的矩阵之和? 解答 矩阵4的秩为r,则存在m阶可逆矩阵P与n阶可 逆矩阵Q满足:A=P 0 O Xn 令T为第行与第i的元素为而其余元素都为0 的mxm矩阵,则T是秩为的矩阵因此PQ的秩为, 且A=P(+…+)Q=PTQ+PT2Q+…+PTQ 这样4就表示成了r个秩为的矩阵之和问题1： 解答： m n r A r 1 ? 如何将一个秩为 的矩阵  表示为 个秩为 的矩阵之和 A r m P n m n , 矩阵  的秩为 则存在 阶可逆矩阵 与 阶可 r m n I O Q A P Q O O : .    =     逆矩阵 满足 T i i i 令 为第 行与第 列的元素为1 0 而其余元素都为 m n T PT Q i i 的  矩阵,则 是秩为1 , 1, 的矩阵 因此 的秩为 A P T T Q PT Q PT Q PT Q 1 1 2 r r 且 = + + = + + + ( ) . 这样A r 就表示成了 个秩为1的矩阵之和. 例1: 实对称矩阵的分解问题