非完整基理论及应用 谢锡麟 522球坐标系 速度旋度 定义 u会VxV=E(jkV(V(), 其分量分别为 (1)=(231)V(2V(3)+ε(321)V(3)V(2)=V(2)V(3)-V{3)V(2) 0(2)V(3)+r(23)V(s)-a(3)V(2)-r(3s2)V(s) =(2)V(3)+0-03V(2)-F332)V{3) 1 aT 1 ave u(2)=(312)V(③3)V(1)+ε(132)V(1)V(3)=V③3)V(1)-V(1)V(3) 0{3)V(1)+r(3s1)V(s)-a(1)V(3)-r(1s3)V(s) =(3)V(1)+f③331)V(③3)-0(1)V3)-0 1 aVr 1 8 ap V (3)=(123V(1V(2)+e(213)V(2)V(1)=V(1)V2)-V(2)V(1) =0(1)V(2)+r(1s2)V(s)-0(2v(1)-r(2s1)v(s) a(1)V(2)+0-a(2)V(1)-F(②22)v(2) ave 1 aVr 1 速度散度 速度散度可以计算如下 v·V=V()V()=V(1)V(1)+V(2V(2)+V{3)V{3) 0(1)V(1)+r(1s1)V(s)+02)V(2)+(2s2)V(s)03)V(③3)+r(3s3)V(s) 0(1)V(1)+0(2)V(2)+T(212)V(1)+0(3)V(3)+r(313)V(1)+r(323)V(2) avr 1 aVe Vr 严b(2)+-10 1 aV rsin e ae (sieve)+ rsin g ap 对流项 在球坐标系下处理对流项 v⑧V=V(i)V()V()张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 5.2.2 球坐标系 速度旋度 定义 ω , ∇ × V = ε⟨ijk⟩∇⟨i⟩V ⟨j⟩, 其分量分别为 ω⟨1⟩ = ε⟨231⟩∇⟨2⟩V ⟨3⟩ + ε⟨321⟩∇⟨3⟩V ⟨2⟩ = ∇⟨2⟩V ⟨3⟩ − ∇⟨3⟩V ⟨2⟩ = ∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + Γ⟨2s3⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨3⟩V ⟨2⟩ − Γ⟨3s2⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + 0 − ∂⟨3⟩V ⟨2⟩ − Γ⟨332⟩V ⟨3⟩ = 1 r ∂Vϕ ∂θ − 1 r sin θ ∂Vθ ∂ϕ + cot θ r Vϕ; ω⟨2⟩ = ε⟨312⟩∇⟨3⟩V ⟨1⟩ + ε⟨132⟩∇⟨1⟩V ⟨3⟩ = ∇⟨3⟩V ⟨1⟩ − ∇⟨1⟩V ⟨3⟩ = ∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ⟨3s1⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨1⟩V ⟨3⟩ − Γ⟨1s3⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ⟨331⟩V ⟨3⟩ − ∂⟨1⟩V ⟨3⟩ − 0 = 1 r sin θ ∂Vr ∂ϕ − 1 r Vϕ − ∂Vϕ ∂r ; ω⟨3⟩ = ε⟨123⟩∇⟨1⟩V ⟨2⟩ + ε⟨213⟩∇⟨2⟩V ⟨1⟩ = ∇⟨1⟩V ⟨2⟩ − ∇⟨2⟩V ⟨1⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + Γ⟨1s2⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨2⟩V ⟨1⟩ − Γ⟨2s1⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + 0 − ∂⟨2⟩V ⟨1⟩ − Γ⟨221⟩V ⟨2⟩ = ∂Vθ ∂r + 1 r ∂Vr ∂θ + 1 r Vθ. 速度散度 速度散度可以计算如下: ∇ · V = ∇⟨i⟩V ⟨i⟩ = ∇⟨1⟩V ⟨1⟩ + ∇⟨2⟩V ⟨2⟩ + ∇⟨3⟩V ⟨3⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + Γ⟨1s1⟩V ⟨s⟩ + ∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ⟨2s2⟩V ⟨s⟩∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ⟨3s3⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + ∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ⟨212⟩V ⟨1⟩ + ∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ⟨313⟩V ⟨1⟩ + Γ⟨323⟩V ⟨2⟩ = ∂Vr ∂r + 1 r ∂Vθ ∂θ + Vr r + 1 r sin θ ∂Vϕ ∂ϕ + Vr r + cot θ r Vθ = 1 r 2 ∂ ∂r ( r 2Vr ) + 1 r sin θ ∂ ∂θ (sin θVθ) + 1 r sin θ ∂Vϕ ∂ϕ . 对流项 在球坐标系下处理对流项： V · ∇ ⊗ V = V ⟨i⟩∇⟨i⟩V ⟨j⟩. 15