非完整基理论及应用 谢锡麟 以下处理V(1)V(2)u(),有 V(1)V(1)u(1)=a(1)((1)(1)+f(1s1)u(s)+r(1sl)V(s)(1)+r(1s1)V(1)a(s) V(1)V(2)u(2)=0(1)(V(2)(2)+r(182)V(s)(2)+f(1s2)V(2)u(s) =0(1)(O(2u(2)+(2s2)u(s) =0(1)0(2)u(2)+f(212)u(1) 0/10u,1 T V(1)V(3)u(3)=0(1)(V{3)u(3))+r(1s3)V(s)(3)+r(1s3)V(3)(s) =a(1)(0(3)(3)+F(3s3)u(s) a(1)(3)u(3)+r(313)a(1)+r(323)(2) cot e (7如m0b4+7+r 综上,有 V(0k=+a(、M/an Ar2 ar (r a0 由此, Navier方程对应于er分量的方程为 1(x20)+如6w(5 a- r2 sin20 ag in 0 a8 1「a2utr,(1au 1 dug sina」1-2uar2ar(raer ar rsin e ap cot 6 52流体力学中的应用事例 521基本方程 不可压黏性 Newton流体,具有如下本构关系及守恒律微分方程 1. Newton流体本构关系 t=-pI+2uD=-pI+H(VOV+VOVEJ(R) 2.连续性方程 .V=0 3.动量方程( Navier-Stokes方程) t)+v·V⑧V) +△v∈ 14张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 以下处理 ∇⟨1⟩∇⟨i⟩u⟨i⟩, 有 ∇⟨1⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ⟨1s1⟩u⟨s⟩) + Γ⟨1s1⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ⟨1s1⟩∇⟨1⟩u⟨s⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) = ∂ 2ur ∂r2 ; ∇⟨1⟩∇⟨2⟩u⟨2⟩ = ∂⟨1⟩(∇⟨2⟩u⟨2⟩) + Γ⟨1s2⟩∇⟨s⟩u⟨2⟩ + Γ⟨1s2⟩∇⟨2⟩u⟨s⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨2⟩u⟨2⟩ + Γ⟨2s2⟩u⟨s⟩) = ∂⟨1⟩∂⟨2⟩u⟨2⟩ + Γ⟨212⟩u⟨1⟩ = ∂ ∂r ( 1 r ∂uθ ∂θ + 1 r ur ) ; ∇⟨1⟩∇⟨3⟩u⟨3⟩ = ∂⟨1⟩(∇⟨3⟩u⟨3⟩) + Γ⟨1s3⟩∇⟨s⟩u⟨3⟩ + Γ⟨1s3⟩∇⟨3⟩u⟨s⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨3⟩u⟨3⟩ + Γ⟨3s3⟩u⟨s⟩) = ∂⟨1⟩∂⟨3⟩u⟨3⟩ + Γ⟨313⟩u⟨1⟩ + Γ⟨323⟩u⟨2⟩ = ∂ ∂r ( 1 r sin θ ∂uϕ ∂ϕ + 1 r ur + cot θ r uθ ) . 综上, 有 ∇⟨1⟩∇⟨i⟩u⟨i⟩ = ∂ 2ur ∂r2 + ∂ ∂r ( 1 r ∂uθ ∂θ + 1 r ur ) + ∂ ∂r ( 1 r sin θ ∂uϕ ∂ϕ + 1 r ur + cot θ r uθ ) . 由此, Navier 方程对应于 er 分量的方程为 1 r 2 ∂ ∂r ( r 2 ∂ur ∂r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ur ∂θ ) + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2ur ∂ϕ2 − 2 r 2 [ ur + 1 sin θ ∂ ∂θ (sin θuθ) + 1 sin θ ∂uϕ ∂ϕ ] + 1 1 − 2ν [ ∂ 2ur ∂r2 + ∂ ∂r ( 1 r ∂uθ ∂θ + 1 r ur ) + ∂ ∂r( 1 r sin θ ∂uϕ ∂ϕ + 1 r ur + cot θ r uθ )] + 1 ν fr = 0. 5.2 流体力学中的应用事例 5.2.1 基本方程 不可压黏性 Newton 流体, 具有如下本构关系及守恒律微分方程 1. Newton 流体本构关系 t = −pI + 2µD = −pI + µ(V ⊗ ∇ + ∇ ⊗ V ) ∈ T 2 (R 3 ). 2. 连续性方程 ∇ · V = 0. 3. 动量方程 (Navier-Stokes 方程) ∂V ∂t (x, t) + V · (∇ ⊗ V ) = − 1 ρ ∇p + 1 Re ∆V ∈ R 3 . 14