非完整基理论及应用 谢锡麟 以e(1)分量为例: V(1)V(1)a(1)=a(1)((1)u(1)+F(1s1)(s))+r(1s1)v(s)(1)+r(ls1)V(1)u(s) 0(1)((1)a(1) a-1 ar2 V(2)V(2(1)=0(2)(V(2)(1))+r(2s2)V(s)(1)+f(2s1)V(2)(s) =0(2)(0(2(1)+r(2s1)u(s)+r(212)V(1)a(1)+r(221)V(2)(2) 0(2)(0(2)u(1)+T(221)(2)+r(212)((1)(1) +r(221)(0(2)(2)+r(212)(1) a7)-F(r80+7 V(3)V{3)(1)=0(3)(V(3)u(1))+r(3s3)V(s)a(1)+r3s1)V(3)a(s =0(3)(0(3)u(1)+f{3s1)(s)+r(313)V(1)a(1) 323)V(2(1)+r〈331)V(3)a(3) =0(3)(0(3)(1)+f(331)a(3)+r(313)(0(1)u(1)+r(323)(a(2)(1) +r(221(2)+r(331)(0{3)a(3)+r(313)(1)+r(323)u(2) 10/1aur1 1/aur cot 8/1 dur 1 rsin 0 arsine ap 1 cot e rosin 0 aor 综上,整理可有 60(m)+mm(m物)+h 10 (sin Bue)张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 以 e⟨1⟩ 分量为例: ∇⟨1⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ⟨1s1⟩u⟨s⟩) + Γ⟨1s1⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ⟨1s1⟩∇⟨1⟩u⟨s⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) = ∂ 2ur ∂r2 ; ∇⟨2⟩∇⟨2⟩u⟨1⟩ = ∂⟨2⟩(∇⟨2⟩u⟨1⟩) + Γ⟨2s2⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ⟨2s1⟩∇⟨2⟩u⟨s⟩ = ∂⟨2⟩(∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨2s1⟩u⟨s⟩) + Γ⟨212⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ⟨221⟩∇⟨2⟩u⟨2⟩ = ∂⟨2⟩(∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨221⟩u⟨2⟩) + Γ⟨212⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) + Γ⟨221⟩(∂⟨2⟩u⟨2⟩ + Γ⟨212⟩u⟨1⟩) = 1 r ∂ ∂θ ( 1 r ∂ur ∂θ − 1 r uθ ) + 1 r ( ∂ur ∂r ) − 1 r ( 1 r ∂uθ ∂θ + 1 r ur ) ; ∇⟨3⟩∇⟨3⟩u⟨1⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨3⟩u⟨1⟩) + Γ⟨3s3⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ⟨3s1⟩∇⟨3⟩u⟨s⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩u⟨1⟩ + Γ⟨3s1⟩u⟨s⟩) + Γ⟨313⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ⟨323⟩∇⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨331⟩∇⟨3⟩u⟨3⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩u⟨1⟩ + Γ⟨331⟩u⟨3⟩) + Γ⟨313⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) + Γ⟨323⟩(∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨221⟩u⟨2⟩) + Γ⟨331⟩(∂⟨3⟩u⟨3⟩ + Γ⟨313⟩u⟨1⟩ + Γ⟨323⟩u⟨2⟩) = 1 r sin θ ∂ ∂ϕ ( 1 r sin θ ∂ur ∂ϕ − 1 r uϕ ) + 1 r ( ∂ur ∂r ) + cot θ r ( 1 r ∂ur ∂θ − 1 r uθ ) − 1 r ( 1 r sin θ ∂uϕ ∂ϕ + 1 r ur + cot θ r uθ ) . 综上, 整理可有 ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨1⟩ = 1 r 2 ∂ ∂r ( r 2 ∂ur ∂r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ur ∂θ ) + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2ur ∂ϕ2 − 2 r 2 [ ur + 1 sin θ ∂ ∂θ (sin θuθ) + 1 sin θ ∂uϕ ∂ϕ ] . 13