非完整基理论及应用 谢锡麟 Michell应力协调方程 对于球坐标,则有 V(1)V(1)T(12) 0(1)(V(1)(12)+r(s1)v(s)T(12)+r(ls1)V(1)T(s2)+f(ls2)v(1)T(1s) (1)(a((12)=2Tr; V(2)V(2)T(12) =0(2)(V(2)T(12)+f(2s2)V(s)T(12)+r(2s1)V(2)T(s2)+r(2s2)V(2)T(1s) 0(2)(0(2)T(12)+r(212)T(11)+r(22l)T(22)+r(212)(O(1)T(12) +F(221)(0(2)T(2)+r(212)T(12)+(212)(21)+r(212(0(2)T(11) r(22l)T(21)+F(22)T(12) 1a/1a 7(am+T7+ V③3)V{3)T(12) 0(3)(V(3)T(12)+f3s3)V(s)T(12)+r(3s1)V(3)T(s2)+r(3s2)V(3)T(1s) =0(3)(0(3)T(12)+(331)T(32)+r(332)T(13)+r(313)(0(1)T(12) +r(323)(0(2)T(12)+r(221)T(22)+T(212)T(11) (331)(0(3)T{32)+r(313)T(12)+r(323)T(2)+r(332)T(33) +r(332)(O(3)T(13)+r(331)T(33)+r(313)T(11)+r(323)T(12) cot 6 rsin 0 ao ( rsin 0 ao n)+(x t/10 1 1 a ot0/ 1 a ot e 方程 先处理 Laplace项v(i)V()u(): V()V()a()=0(2)(0()u()+r(s)u(s))+r(isi)(0〈s)(j)+r(is)(s) +risj(a(iu s)+r()u(t)) 将哑标i展开 V()V(a)u()=V(1)V(1)u()+V(2)V(2)u()+V(3)V(3)a(j)张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 Michell 应力协调方程 对于球坐标, 则有 ∇⟨1⟩∇⟨1⟩T⟨12⟩ = ∂⟨1⟩(∇⟨1⟩T⟨12⟩) + Γ⟨1s1⟩∇⟨s⟩T⟨12⟩ + Γ⟨1s1⟩∇⟨1⟩T⟨s2⟩ + Γ⟨1s2⟩∇⟨1⟩T⟨1s⟩) = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩T⟨12⟩) = ∂ 2 ∂r2 Trθ; ∇⟨2⟩∇⟨2⟩T⟨12⟩ = ∂⟨2⟩(∇⟨2⟩T⟨12⟩) + Γ⟨2s2⟩∇⟨s⟩T⟨12⟩ + Γ⟨2s1⟩∇⟨2⟩T⟨s2⟩ + Γ⟨2s2⟩∇⟨2⟩T⟨1s⟩) = ∂⟨2⟩(∂⟨2⟩T⟨12⟩ + Γ⟨212⟩T⟨11⟩ + Γ⟨221⟩T⟨22⟩) + Γ⟨212⟩(∂⟨1⟩T⟨12⟩) + Γ⟨221⟩(∂⟨2⟩T⟨22⟩ + Γ⟨212⟩T⟨12⟩ + Γ⟨212⟩T⟨21⟩) + Γ⟨212⟩(∂⟨2⟩T⟨11⟩ + Γ⟨221⟩T⟨21⟩ + Γ⟨221⟩T⟨12⟩) = 1 r ∂ ∂θ ( 1 r ∂ ∂θTrθ + 1 r Trr − 1 r Tθθ) + 1 r ( ∂ ∂rTrθ) − 1 r ( 1 r ∂ ∂θTθθ + 1 r Trθ + 1 r Tθr) + 1 r ( 1 r ∂ ∂θTrr − 1 r Tθr − 1 r Trθ) ; ∇⟨3⟩∇⟨3⟩T⟨12⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨3⟩T⟨12⟩) + Γ⟨3s3⟩∇⟨s⟩T⟨12⟩ + Γ⟨3s1⟩∇⟨3⟩T⟨s2⟩ + Γ⟨3s2⟩∇⟨3⟩T⟨1s⟩) = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩T⟨12⟩ + Γ⟨331⟩T⟨32⟩ + Γ⟨332⟩T⟨13⟩) + Γ⟨313⟩(∂⟨1⟩T⟨12⟩) + Γ⟨323⟩(∂⟨2⟩T⟨12⟩ + Γ⟨221⟩T⟨22⟩ + Γ⟨212⟩T⟨11⟩) + Γ⟨331⟩(∂⟨3⟩T⟨32⟩ + Γ⟨313⟩T⟨12⟩ + Γ⟨323⟩T⟨22⟩ + Γ⟨332⟩T⟨33⟩) + Γ⟨332⟩(∂⟨3⟩T⟨13⟩ + Γ⟨331⟩T⟨33⟩ + Γ⟨313⟩T⟨11⟩ + Γ⟨323⟩T⟨12⟩) = 1 r sin θ ∂ ∂ϕ ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕTrθ − 1 r Tϕθ − cot θ r Trϕ) + 1 r ( ∂ ∂rTrθ) + cot θ r ( 1 r ∂ ∂θTrθ − 1 r Tθθ + 1 r Trr) − 1 r ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕTϕθ + 1 r Trθ + cot θ r Tθθ − cot θ r Tϕϕ) − cot θ r ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕTrϕ − 1 r Tϕϕ + 1 r Trr + cot θ r Trθ) . Navier 方程 先处理 Laplace 项 ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩: ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩ = ∂⟨i⟩(∂⟨i⟩u⟨j⟩ + Γ⟨isj⟩u⟨s⟩) + Γ⟨isi⟩(∂⟨s⟩u⟨j⟩ + Γ⟨isj⟩u⟨s⟩) + Γ⟨isj⟩(∂⟨i⟩u⟨s⟩ + Γ⟨its⟩u⟨t⟩). 将哑标 i 展开: ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩ = ∇⟨1⟩∇⟨1⟩u⟨j⟩ + ∇⟨2⟩∇⟨2⟩u⟨j⟩ + ∇⟨3⟩∇⟨3⟩u⟨j⟩. 12