非完整基理论及应用 谢锡麟 3)V(2)E(31) 0(3)V(2)E(31))+r(32)V(s)E(31)+r(3s3)V(2)E(sl1)+r3s1)V(2)E(3s) =0(3)(0(2)E{31)+r(2s3)E(s1)+r(2s1)E(3s)+f(332)V(3)E(31) +r(323)V(2)E(21)+r(313)V(2)E(11)+(〈331)V(2)E(③33 0(3)(O(2)E(31)+r(221)E(32)+r(332)(0(3)E(31)+f({3s3)E(s1) +(3s1)E(③3s)+r(323)(0(2)E(21)+r(2s2)E(s1)+T(2s1)E(2s) +r(313)((2)E(11)+F(21)E(s1)+r(2s1)E(1s)+f(〈331)(0(2)E(33 +r(2s3)E(s3)+F(2s3)E(3s) =0(3)(0(2)E(31)+r(221)E(32)+r(332)(0(3)E(31)+r(313)E(11) +r(323)E(21)+r331)E(33)+r(323)(0(2)E(21)+f(212)E(11) +r(22)E(22)+F(313)(0(2)E(11)+F(221)E(21)+r(②221)E(12) +r(331)(0(2)E(33)) (计m-1E)-m(+2En+mm eo+-cot 0 V(1)V(2)E{33) =0(1)(V(2)E(33)+r(182)V(s)E(33)+r(1s3)V(2)E(〈s3)+r(1s3)V(2E(3s) =0(1)((2)E(33+r(2s3)E(s3)+r(2s3)E(3s)=0(1)0(2)E(33) V③3)V{3)E(21) 0(3)(V(3)E(21))+r(3s3)V(s)E(21)+r(382)V(3)E(s1)+r(3s1)V(3)E(2s) 0(3)(0(3)E(21)+r(3s2)E(s1)+r(3s1)E(2s))+r(313)(V(1)E(21)) +r(323)V(2)E(21)+r(332V(3)E(31)+r(331)V(3)E(23) =0(3)(03)E(21)+r(332E(31)+r(331)E(23)+f(313)(0(2)E(21) +F(2s2)E(1)+T(2s1)E(2s)+f(323)(0(2)E(21)+T(2s2)E(s1) +r(2s1)E(2s)+r332)(0(3)E(31)+r(3s3)E(s1)+r(3s1)E(3s) E(23)+F(3s2)E(s3)+f{383)E(2s)) =0(3)(0(3)E(21)+T(332)E(31)+F(331)E(23))+r(313)(0(2)E(21)) +r(323)(0(2)E(21)+(212)E(11)+f(221)E(22)+f(332)(0(3)E(21) +r(332)E(31)+f(331)E(21))+r331)(0(3)E(23)+r(332)E(33 +r(313)E(21)+r(323)E(22) E rsin 0 ao ( rsin 0 ao ForIt -Eeo)+ cota/1 a张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 ∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨2⟩E⟨31⟩) + Γ⟨3s2⟩∇⟨s⟩E⟨31⟩ + Γ⟨3s3⟩∇⟨2⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨3s1⟩∇⟨2⟩E⟨3s⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨2⟩E⟨31⟩ + Γ⟨2s3⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨2s1⟩E⟨3s⟩) + Γ⟨332⟩∇⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ⟨323⟩∇⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ⟨313⟩∇⟨2⟩E⟨11⟩ + Γ⟨331⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨2⟩E⟨31⟩ + Γ⟨221⟩E⟨32⟩) + Γ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ⟨3s3⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨3s1⟩E⟨3s⟩) + Γ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ⟨2s2⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨2s1⟩E⟨2s⟩) + Γ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨11⟩ + Γ⟨2s1⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨2s1⟩E⟨1s⟩) + Γ⟨331⟩(∂⟨2⟩E⟨33⟩ + Γ⟨2s3⟩E⟨s3⟩ + Γ⟨2s3⟩E⟨3s⟩) = ∂⟨3⟩(∂⟨2⟩E⟨31⟩ + Γ⟨221⟩E⟨32⟩) + Γ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ⟨313⟩E⟨11⟩ + Γ⟨323⟩E⟨21⟩ + Γ⟨331⟩E⟨33⟩) + Γ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ⟨212⟩E⟨11⟩ + Γ⟨221⟩E⟨22⟩) + Γ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨11⟩ + Γ⟨221⟩E⟨21⟩ + Γ⟨221⟩E⟨12⟩) + Γ⟨331⟩(∂⟨2⟩E⟨33⟩) = 1 r sin θ ∂ ∂ϕ ( 1 r ∂ ∂θEϕr − 1 r Eϕθ) − cot θ r ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕEϕr + 1 r Err + cot θ r Eθr − 1 r Eϕϕ) + 1 r cot θ ( 1 r ∂ ∂θEθr + 1 r Err − 1 r Eθθ) + 1 r ( 1 r ∂ ∂θErr − 1 r Eθr − 1 r Erθ) − 1 r ( 1 r ∂ ∂θEϕϕ) ; ∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩ = ∂⟨1⟩(∇⟨2⟩E⟨33⟩) + Γ⟨1s2⟩∇⟨s⟩E⟨33⟩ + Γ⟨1s3⟩∇⟨2⟩E⟨s3⟩ + Γ⟨1s3⟩∇⟨2⟩E⟨3s⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨2⟩E⟨33⟩ + Γ⟨2s3⟩E⟨s3⟩ + Γ⟨2s3⟩E⟨3s⟩) = ∂⟨1⟩∂⟨2⟩E⟨33⟩ = ∂ ∂r ( 1 r ∂ ∂θEϕϕ) ; ∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨3⟩E⟨21⟩) + Γ⟨3s3⟩∇⟨s⟩E⟨21⟩ + Γ⟨3s2⟩∇⟨3⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨3s1⟩∇⟨3⟩E⟨2s⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ⟨3s2⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨3s1⟩E⟨2s⟩) + Γ⟨313⟩(∇⟨1⟩E⟨21⟩) + Γ⟨323⟩∇⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ⟨332⟩∇⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ⟨331⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ⟨332⟩E⟨31⟩ + Γ⟨331⟩E⟨23⟩) + Γ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ⟨2s2⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨2s1⟩E⟨2s⟩) + Γ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ⟨2s2⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨2s1⟩E⟨2s⟩) + Γ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ⟨3s3⟩E⟨s1⟩ + Γ⟨3s1⟩E⟨3s⟩) + Γ⟨331⟩(∂⟨3⟩E⟨23⟩ + Γ⟨3s2⟩E⟨s3⟩ + Γ⟨3s3⟩E⟨2s⟩) = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ⟨332⟩E⟨31⟩ + Γ⟨331⟩E⟨23⟩) + Γ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩) + Γ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ⟨212⟩E⟨11⟩ + Γ⟨221⟩E⟨22⟩) + Γ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ⟨332⟩E⟨31⟩ + Γ⟨331⟩E⟨21⟩) + Γ⟨331⟩(∂⟨3⟩E⟨23⟩ + Γ⟨332⟩E⟨33⟩ + Γ⟨313⟩E⟨21⟩ + Γ⟨323⟩E⟨22⟩) = 1 r sin θ ∂ ∂ϕ ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕEθr − cot θ r Eϕr − 1 r Eθϕ) + 1 r ( 1 r ∂ ∂θEθr) + cot θ r ( 1 r ∂ ∂θEθr + 1 r Err − 1 r Eθθ) − cot θ r ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕEϕr + 1 r Err + cot θ r Eθr − 1 r Eϕϕ) − 1 r ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕEθϕ − cot θ r Eϕϕ + 1 r Eθr + cot θ r Eθθ) ; ∇⟨1⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩ = ∂⟨1⟩(∇⟨3⟩E⟨23⟩) + Γ⟨1s3⟩∇⟨s⟩E⟨23⟩ + Γ⟨1s2⟩∇⟨3⟩E⟨s3⟩ + Γ⟨1s3⟩∇⟨3⟩E⟨2s⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨3⟩E⟨23⟩ + Γ⟨3s2⟩E⟨s3⟩ + Γ⟨3s3⟩E⟨2s⟩) = ∂⟨1⟩(∂⟨3⟩E⟨23⟩ + Γ⟨332⟩E⟨33⟩ + Γ⟨313⟩E⟨21⟩ + Γ⟨323⟩E⟨22⟩) = ∂ ∂r ( 1 r sin θ ∂ ∂ϕEθϕ − cot θ r Eϕϕ + 1 r Eθr + cot θ r Eθθ) . 11