非完整基理论及应用 谢锡麟 512球坐标系 基本几何量 球坐标系具有向量值映照表示 (a):RD D3=8 sin 8 sin o∈R 其 Jacobi矩阵可以表示为 DX()= sin 0 sin o rcos e sin o rsin 0 cos o 9r9e9 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下 (x)=(Dx)(Dx)(x) (ga,9)Rs(g,9)R3(g0,9 (g,9)R3(g9)3(g,9) 即有 0r0 其单位正交基中 Christoffel符号非零的有: (212)=-(221)= 1 aInr 1 1 alr r(313)=-83)=1 sin e r sin [(323)=-/(332) 1 aIn(rsin e)arcos 8=-cot8 几何方程 对于球坐标系,应变的E(12)分量为 E(12)=(0(2)(1)+f(2212(2)+0(1)(2)+r(112)u(1)) 应变协调方程张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 5.1.2 球坐标系 基本几何量 球坐标系具有向量值映照表示 X(x) : R 3 ⊃ Dx ∋ x =   r θ ϕ   7→ X(x) =   r sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ   ∈ R 3 , 其 Jacobi 矩阵可以表示为 DX(x) =   sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ −r sin θ 0   = ( gr gθ gϕ ) . 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下: ( gij) (x) = (DX) T(DX)(x) =   (gr , gr )R3 (gr , gθ )R3 (gr , gϕ )R3 (gθ , gr )R3 (gθ , gθ )R3 (gθ , gϕ )R3 (gϕ , gr )R3 (gϕ , gθ )R3 (gϕ , gϕ )R3   =   1 0 0 0 r 2 0 0 0 (r sin θ) 2   , 即有 (√gij) =   1 0 0 0 r 0 0 0 r sin θ   , 其单位正交基中 Christoffel 符号非零的有： Γ⟨212⟩ = −Γ⟨221⟩ = 1 1 ∂ ln r ∂r = 1 r , Γ⟨313⟩ = −Γ⟨331⟩ = 1 1 ∂ ln(r sin θ) ∂r = 1 r sin θ sin θ = 1 r , Γ⟨323⟩ = −Γ⟨332⟩ = 1 r ∂ ln(r sin θ) ∂θ = 1 r 1 r sin θ r cos θ = 1 r cot θ. 几何方程 对于球坐标系, 应变的 E⟨12⟩ 分量为 E⟨12⟩ = 1 2 (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨221⟩u⟨2⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ⟨112⟩u⟨1⟩) = 1 2 ( 1 r ∂ur ∂θ − 1 r uθ + ∂uθ ∂r ) . 应变协调方程 10