非完整基理论及应用 谢锡麟 以E(12)分量为例,有 E(12)=3(0(2)a(1)+T(2s1)u(s)+a(1)u(2)+r(1s2)u(s) =2(0(2)(1)+r(221)(2)+0(1)(2)+r(112)a(1) 应变协调方程可以表示为 V×E×V=0∈2(R3) 上式左端在一般曲线坐标系中可以表示为 V×E×V=VkVE;eegp89=e(lp)(kq)V(V()E()ep)e(q) 由此可得单位正交基下的分量方程 E (lipSko)V(hV(E(ij)=0 V×EV对e(1)se(2)的分量,可计算如下 E(lilyEjk2)V(k)V(lE(ij) e(231)(k2V()V(2)E(3)+(321)(jk2)V(k)V(3)E(2j) e(231)((132)V(3)V(2)E(31)+∈(312)V(1)V(2)E(33) +ε(321)((132)V(3)V③3)E(②21)+e(312)V(1)V{3)E(23) V③3)V(2)E{31)+V(1)V(2)E(33)+V(3)V(3)E(②21)-V(1)V(3)E(23) Michell应力协调方程可以表示为 △T+,,V⑧(V日)+ 1+ V·f)I+(f8V+Vaf)=0∈32(R3), 式中:=trT.其e()@e(j)分量为 VlpVlpT(ij)+V( VGT(pp)+vlp)f(p)s(ij) +(V(j)f()+V()f(j)=0. Navier方程可以表示为 v(v.u)+-f=0∈R 其对应于e()分量方程为 v(V(a()+1-V)v(aa()+元f()=0张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 以 E⟨12⟩ 分量为例, 有 E⟨12⟩ = 1 2 (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨2s1⟩u⟨s⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ⟨1s2⟩u⟨s⟩) = 1 2 (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ⟨221⟩u⟨2⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ⟨112⟩u⟨1⟩). 应变协调方程可以表示为 ∇ × E × ∇ = 0 ∈ T 2 (R 3 ). 上式左端在一般曲线坐标系中可以表示为 ∇ × E × ∇ = ∇k∇lEij ε lipε jkq gp ⊗ gq = ε⟨lip⟩ε⟨jkq⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩e⟨p⟩ ⊗ e⟨q⟩, 由此可得单位正交基下的分量方程 ε⟨lip⟩ε⟨jkq⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩ = 0. ∇ × E × ∇ 对 e⟨1⟩ ⊗ e⟨2⟩ 的分量, 可计算如下： ε⟨li1⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩ = ε⟨231⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨2⟩E⟨3j⟩ + ε⟨321⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨3⟩E⟨2j⟩ = ε⟨231⟩(ε⟨132⟩∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ + ε⟨312⟩∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩) + ε⟨321⟩(ε⟨132⟩∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ + ε⟨312⟩∇⟨1⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩) = −∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ + ∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩ + ∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ − ∇⟨1⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩. Michell 应力协调方程可以表示为 ∆T + 1 1 + ν ∇ ⊗ (∇Θ) + ν 1 − ν (∇ · f)I + (f ⊗ ∇ + ∇ ⊗ f) = 0 ∈ T 2 (R 3 ), 式中 Θ := trT . 其 e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩ 分量为 ∇⟨p⟩∇⟨p⟩T⟨ij⟩ + 1 1 + ν ∇⟨i⟩∇⟨j⟩T⟨pp⟩ + ν 1 − ν ∇⟨p⟩f⟨p⟩δ⟨ij⟩ + (∇⟨j⟩f⟨i⟩ + ∇⟨i⟩f⟨j⟩) = 0. Navier 方程可以表示为 ∆u + 1 1 − 2ν ∇(∇ · u) + 1 ν f = 0 ∈ R 3 , 其对应于 e⟨j⟩ 分量方程为 ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩ + 1 1 − 2ν ∇⟨j⟩∇⟨i⟩u⟨i⟩ + 1 ν f⟨j⟩ = 0. 9