非完整基理论及应用 谢锡麟 3.p=q=r时,有 P axp 1ol√卿_1olny9m √9mOr V9ma2"(x)=0 综上,有 q)m√9pp=1(p)(q),(P) )=-0q)ln√师m=rpp) 按郭仲衡《张量(理论和应用)》中的记号,将上式中的 Christoffel号记作 (p)(a)-(p)(Q).(r)=r(pqr) 定理42(单位正交基中张量分量协变导数).以三阶张量为例,有 7(s)!(q)()=V(s)重pqr) 9ss Ors(pqr)+r(skp)(kqr)+r(skq)(pkr)+ r(skr)(pgk) 按上所述,可将在完整基下定义的场论微分运算在非完整基下表示,现以更=91⑧9∈ 9(R3)为例,则可有 V·更会V吵93=V例重P)9() Vpg;=V(j)更()9(i) v8更Vq91③92=V()更(j)9p)9(9 更V会Vp918938g=V)重g(9)g) V×更全两V9n89k=E(mV(kg(m)9k 更xV全mV9k89p=mV()g(k)8g( 进一步,可获得张量分量的具体表达式 5应用事例 5.1弹性力学中的应用事例 511基本方程 应变可以表示为 全(u8V+Vu)∈2(R3) 其在单位正交基下的分量方程为 E=(V()()+V((0)e()e(),张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. p = q = r 时, 有 Γ (p) (p)(p) = 1 √gpp Γ p pp − 1 gpp ∂ √gpp ∂xp (x) = 1 √gpp ∂ ln √gpp ∂xp − 1 √gpp ∂ ln √gpp ∂xp (x) = 0. 综上, 有 Γ (p) (p)(q) = ∂(q) ln √gpp = Γ(p)(q),(p) , Γ (q) (p)(p) = −∂(q) ln √gpp = Γ(p)(p),(q) . 按郭仲衡《张量 (理论和应用)》中的记号, 将上式中的 Christoffel 符号记作 Γ (r) (p)(q) = Γ(p)(q),(r) = Γ⟨pqr⟩. 定理 4.2 (单位正交基中张量分量协变导数). 以三阶张量为例, 有 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) = ∇⟨s⟩ Φ⟨pqr⟩ = 1 √gss ∂ ∂xs Φ⟨pqr⟩ + Γ⟨skp⟩Φ⟨kqr⟩ + Γ⟨skq⟩Φ⟨pkr⟩ + Γ⟨skr⟩Φ⟨pqk⟩. 按上所述, 可将在完整基下定义的场论微分运算在非完整基下表示, 现以 Φ = Φ i ·j gi ⊗ g j ∈ T (R 3 ) 为例, 则可有 ∇ · Φ , ∇pΦ p ·j g j = ∇⟨p⟩ Φ⟨pj⟩ g⟨j⟩, Φ · ∇ , ∇jΦ ij gi = ∇⟨j⟩ Φ⟨ij⟩ g⟨i⟩, ∇ ⊗ Φ , ∇pΦ i ·j g p ⊗ gi ⊗ g j = ∇⟨p⟩ Φ⟨ij⟩g⟨p⟩ ⊗ g⟨i⟩ ⊗ g⟨j⟩, Φ ⊗ ∇ , ∇pΦ i ·j gi ⊗ g j ⊗ g p = ∇⟨p⟩ Φ⟨ij⟩g⟨i⟩ ⊗ g⟨j⟩ ⊗ g⟨p⟩, ∇ × Φ , ε pij∇iΦ ·k j gp ⊗ gk = ε⟨pij⟩∇⟨i⟩ Φ⟨jk⟩g⟨p⟩ ⊗ g⟨k⟩, Φ × ∇ , ε pij∇iΦ ·k j gk ⊗ gp = ε⟨pij⟩∇⟨i⟩ Φ⟨jk⟩g⟨k⟩ ⊗ g⟨p⟩. 进一步, 可获得张量分量的具体表达式. 5 应用事例 5.1 弹性力学中的应用事例 5.1.1 基本方程 应变可以表示为 E , 1 2 (u ⊗ ∇ + ∇ ⊗ u) ∈ T 2 (R 3 ). 其在单位正交基下的分量方程为 E = 1 2 (∇⟨j⟩u⟨i⟩ + ∇⟨i⟩u⟨j⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩, 8