非完整基理论及应用 谢锡麟 定理41(单位正交基中 Christoff号°) r0=90()ro0e=rw2 Tpqp)=-I(ppq) a In gpp √9qm,当1=p≠q, 其他情况. 证明首先,计算完整正交系下第二类 Christoffel符号 E=9ms=9NWws、l 1/0 grr2 dry xsl m) 分以下几种情况进行讨论 ≠q≠r,此时F 2.p=q≠r或者p=r≠q或者q=r≠p时,有 2 02r/(a) 2 grr a 1109m(x) 1109 2 gm drq O?(a); TPp=-Ip pp,p= 1 1 agpp 然后,计算对应的非完整单位正交系下的第二类 Christoffel符号(在处理中仍先保留协变与逆变 之间的区别) 1.p≠q≠r时,有rp=0 2.p=q≠r或者p=r≠q或者q=r≠p时,有 11 dg (P)(P) gpp 2 grr arr 11 Opp(a dr) In r=1(11 (P)(q Vipp(29pp dzy) 1aln√9P (P)(q)一 √9P gpp ysgg azp 1 aIn a In Oxp(a) /9pp dxp(a)=0 ①在单位正交系中,协变基与逆变基重合,藉此张量的协变和逆变分量亦无差别张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 定理 4.1 (单位正交基中 Christoffel 符号➀). Γ (l) (p)(q) = g (l)(k)Γ(p)(q),(k) =: Γ⟨pql⟩ =    Γ⟨pqp⟩ = −Γ⟨ppq⟩ = 1 √gqq ∂ ln √gpp ∂xq , 当 l = p ̸= q, 0, 其他情况. 证明 首先, 计算完整正交系下第二类 Christoffel 符号： Γ r pq = g rsΓpq,s = g rrΓpq,r = 1 grr 1 2 ( ∂gpr ∂xq + ∂gqr ∂xp − ∂gpq ∂xr ) , 分以下几种情况进行讨论: 1. p ̸= q ̸= r, 此时 Γ r pq = 0; 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 Γ r pp = 1 grr Γpp,r = 1 grr ( − 1 2 ∂gpp ∂xr ) (x) = − 1 2 1 grr ∂gpp ∂xr (x), Γ p qp = Γ p pq = 1 gpp Γpq,p = 1 gpp 1 2 ∂gpp ∂xq (x) = 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xq (x) = ∂ ln √gpp ∂xq (x); 3. p = q = r 时, 有 Γ p pp = 1 gpp Γpp,p = 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xp (x) = ∂ ln √gpp ∂xp (x). 然后, 计算对应的非完整单位正交系下的第二类 Christoffel 符号 (在处理中仍先保留协变与逆变 之间的区别): 1. p ̸= q ̸= r 时, 有 Γ (r) (p)(q) = 0; 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 Γ (r) (p)(p) = 1 gpp √ grrΓ r pp = √grr gpp ( − 1 2 1 grr ∂gpp ∂xr ) = − 1 2 1 √grr 1 gpp ∂gpp ∂xr (x) = − 1 √grr ∂ ∂xr ln √gpp = −∂(r) ln √gpp, Γ (p) (p)(q) = 1 √gqq Γ p pq = 1 √gpp ( 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xq (x) ) = 1 √gqq ∂ ln √gpp ∂xq (x) = ∂(q) ln √gpp, Γ (q) (p)(q) = 1 √gpp Γ q pq − 1 √gpp 1 √gqq ∂ √gqq ∂xp = 1 √gpp ∂ ln √gqq ∂xp (x) − 1 √gpp ∂ ln √gqq ∂xp (x) = 0; ➀ 在单位正交系中, 协变基与逆变基重合, 藉此张量的协变和逆变分量亦无差别. 7