非完整基理论及应用 谢锡麟 所以,有 (p) (q)=( V更 +lI. O (q)+ TiL C(m)C(s)C rcls go aCi (n) (9) ar(s) (q) (n)cl ac 更 as P()+risc(s)C(m) Cl,ck aclp a)arl axl ax(s)*/(p) s(m) (q) ((m)()-r(n)db) (s)(q) 由此便对向量和仿射量的情形进行了验证.对于更高阶的张量,可以用类似的步骤进行 4从完整的正交系到非完整的单位正交系 在实际应用非完整基理论时,完整基常为完整的正交基,亦即(91,93)8=0,当i≠j,且非 完整基构造为原完整正交基的单位化,即 9a=:C1 式中 当i √9i,当 全y9i 当i≠j 当i≠ 上式中对i不求和.由此非完整基为单位正交基,亦即有(9903=张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 所以, 有 ∇(s)Φ (p) · (q) = C l (s)C (p) i C j (q)∇lΦ i ·j = C l (s)C (p) i C j (q) [ C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) ] = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) Φ (m) · (q) + C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) Φ (p) · (n) + Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i Φ (m) · (q) − Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + ∂ ∂x(s) ( C (p) i C i (m) ) − C i (m) ∂C(p) i ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + Γ (p) (s)(m) Φ (m) · (q) − Γ (n) (s)(q) Φ (p) · (n) . 由此便对向量和仿射量的情形进行了验证. 对于更高阶的张量, 可以用类似的步骤进行. 4 从完整的正交系到非完整的单位正交系 在实际应用非完整基理论时, 完整基常为完整的正交基, 亦即 (gi , gj )R3 = 0, 当 i ̸= j, 且非 完整基构造为原完整正交基的单位化, 即    g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j , 式中 C j (i) ,    1 √gii , 当 i = j, 0, 当 i ̸= j, C (i) j ,    1 √ g ii = √gii, 当 i = j, 0, 当 i ̸= j. 上式中对 i 不求和. 由此非完整基为单位正交基, 亦即有 ( g(i) , g(j) ) R3 = δij . 6