非完整基理论及应用 谢锡麟 3.定义形式协变导数 0 通过直接计算可验证V(小(=匝v]po(s 首先,对向量A=4g1=A9o,可有 az 由形式偏导数的定义可有 sk 考虑到 V1A42 dA A5=C() a((C4()+C1A0) +Ciaa ar(k) 所以,有 V(m)A(n)=C(mC(VIA )=Clm)C(n) ac0 AG)+Ci C6) ax(k) aA +rC40) CIm Cmcr am(A)+Cim)o C) amd5+risC&,Clm)C[ AG) dx(m)+C)auA(+IisCs)C(m)(n)AG) aA(n) ar(m) aa(n) 0 ac Tisc aA(n) +risco (n) am/40) 02m)+rici im) (ol-Cim)ci) d2= AG) 对仿射量中=少19189=098g0,可有 考虑到 VIg 2 ))+Ticm) g)g6(m n)-r; om) kn) gb m ny ac (n)(张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. 定义形式协变导数 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) , C l (s) ∂ ∂xl Φ (p) · (q)(r) + Γ (p) (s)(k) Φ (k) · (q)(r) − Γ (k) (s)(q) Φ (p) · (k)(r) − Γ (k) (s)(r) Φ (p) · (q)(k) , 通过直接计算可验证 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) = [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) . 首先, 对向量 A = Aigi = A(j)g(j) , 可有 A i = C i (j)A (j) , 由形式偏导数的定义可有 C (l) s ∂ ∂x(l) = C (l) s C k (l) ∂ ∂xk = δ k s ∂ ∂xk = ∂ ∂xs . 考虑到 ∇lA i = ∂Ai ∂xl + Γ i lsA s = C (k) l ∂ ∂x(k) ( C i (j)A (j) ) + Γ i lsC s (j)A (j) = C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)A (j) , 所以, 有 ∇(m)A (n) = C l (m)C (n) i (∇lA i ) = C l (m)C (n) i [ C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)A (j) ] = C l (m)C (n) i C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C l (m)C (n) i C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + C (n) i ∂Ci (j) ∂x(m) A (j) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ ∂ ∂x(m) ( C (n) i C i (j) ) − C i (j) ∂C(n) i ∂x(m) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i − C i (j) ∂C(n) i ∂xs ∂xs ∂x(m) ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i − C s (m)C i (j) ∂C(n) i ∂xs ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + Γ (n) (m)(j)A (j) . 对仿射量 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j = Φ (i) · (j)g(i) ⊗ g (j) , 可有 Φ i ·j = C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) . 考虑到 ∇lΦ i ·j = ∂Φi ·j ∂xl + Γ i lkΦ k ·j − Γ k ljΦ i ·k = C (r) l ∂ ∂x(r) ( C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) ) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) = C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) , 5