非完整基理论及应用 谢锡麟 3非完整基一般理论 按线性代数,R中任意二组基{g1}m1和{9(}m1可以相互表示,如下所示 9(i) 此处CC=6,基转换系数{C1=1与{c1m=之间的关系式源于协变基与逆变基之 的对偶关系 9八()x线 y线 x线 9(2) g1() x-线 D Figure2:非完整基示意 图2为非完整基示意图 本节研究这样的情形,{g}m=1为完整基,亦即由曲线坐标系诱导;{9(a)}m=1为非完整基,亦 即由完整基及基转换系数确定,其中转换系数可自由确定.对任意张量场,可以基于完整基定义 其梯度,以三阶张量更∈3(R3)为例,有 更8V:=V匝918918g8g∈1(R3), 现需获得φ⑧ⅴ在非完整基下的表达形式.按基转化关系可有 )(V小)8g8g)sy) 囤⑧()s)9p)898g"g() 亦即有匝8V0)=CC(CV 非完整基理论实质为提供一套“形式运算”,以获得匝8V(P(o)s,具体包括 1.定义形式偏导数 axk 2.定义形式 Christoffel符号张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3 非完整基一般理论 按线性代数, R m 中任意二组基 {gi} m i=1 和 {g(i)} m i=1 可以相互表示, 如下所示:    g(i) := C j (i) gj , g (i) := C (i) j g j ,    gi := C (j) i g(j) , g i := C i (j) g (j) , 此处, C (i) k C k (j) = δ i j , 基转换系数 {C j (i) } m i,j=1 与 {C (i) j } m i,j=1 之间的关系式源于协变基与逆变基之 间的对偶关系. x 1 x i xm O x i -楫 x i -楫 x j -楫 x j -楫 xˆ x˜ Dx X1 Xα Xm O X(x˜) x i -楫 x j -楫 gi(x˜) gj (x˜) g(i)(x˜) g(j)(x˜) X(xˆ) x i -楫 x j -楫 gi(xˆ) gj (xˆ) g(i)(xˆ) g(j)(xˆ) Figure 2: 非完整基示意 图2为非完整基示意图. 本节研究这样的情形, {gi} m i=1 为完整基, 亦即由曲线坐标系诱导; {g(i)} m i=1 为非完整基, 亦 即由完整基及基转换系数确定, 其中转换系数可自由确定. 对任意张量场, 可以基于完整基定义 其梯度, 以三阶张量 Φ ∈ T 3 (R 3 ) 为例, 有 Φ ⊗ ∇ := ∇lΦ i ·jkgi ⊗ g j ⊗ g k ⊗ g l ∈ T 4 (R 3 ), 现需获得 Φ ⊗ ∇ 在非完整基下的表达形式. 按基转化关系可有 Φ ⊗ ∇ : = ∇lΦ i ·jk [ C (p) i g(p) ] ⊗ [ C j (q) g (q) ] ⊗ [ C k (r) g (r) ] ⊗ [ C l (s) g (s) ] = C (p) i C j (q) C k (r)C l (s)∇lΦ i ·jkg(p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) = [Φ ⊗ ∇] (p) ·(q)(r)(s) g(p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) , 亦即有 [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) = C (p) i C j (q) C k (r)C l (s)∇lΦ i ·jk. 非完整基理论实质为提供一套 “形式运算”, 以获得 [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) , 具体包括 1. 定义形式偏导数 ∂ ∂x(l) ≡ ∂(l) , C k (l) ∂ ∂xk ; 2. 定义形式 Christoffel 符号 Γ (l) (p)(q) , C (l) k C i (p)C j (q) Γ k ij − C i (p)C j (q) ∂C(l) j ∂xi ̸= Γ (l) (q)(p) ; 4