非完整基理论及应用 谢锡麟 证明考虑到 V +I下;-I更 arl axl ar(r) s(cim m )s( m ( n)+rik axl gon) ac ac +rick(ng( m)n)-rkcim cin B m) 可有 (q)=C V ar(r) J ar(r) +o()Cim) ar(r).(n)+ Tik C m) p.()-riCim) C g(m) ole (m)o+nc(n) (n)+rickmClsCp rCC0Ck小 ar(s) (q) (q) 0 ax(s) ac(n) O更 aC (s)(a) arl +T p) s(m) 由此便有 Christoffel的坐标转换关系 Ti.CL p) )areal(m)(s)张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 证明 考虑到 ∇lΦ i ·j = ∂Φi ·j ∂xl + Γ i lkΦ k · j − Γ k ljΦ i ·k = ∂x(r) ∂xl ∂ ∂x(r) ( C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) ) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) = C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) , 可有 ∇(s)Φ (p) · (q) = C l (s)C (p) i C j (q)∇lΦ i ·j = C l (s)C (p) i C j (q) [ C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) ] = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) Φ (m) · (q) + C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) Φ (p) · (n) + Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i Φ (m) · (q) − Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + ∂ ∂x(s) ( C (p) i C i (m) ) − C i (m) ∂C(p) i ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + Γ (p) (s)(m) Φ (m) · (q) − Γ (n) (s)(q) Φ (p) · (n) . 由此便有 Christoffel 的坐标转换关系 Γ (p) (s)(m) = Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl = Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂x(p) ∂xk∂xl = Γ (p) (m)(s) . 3