非完整基理论及应用 谢锡麟 y-线 x2-线 y-线 Figure1:完整基示意 定理22(张量分量间的坐标转换关系.以重=型/91891∈2(3)为例,有如下关系 更=918g1=少908g0; V=Vg2898gy=V(0.090)890890 所以有分量之间的转换关系 CAcO、V2 定理23(第一类 Christoffel符号的坐标转换关系). 0=ccm-cC如 (q)(P)张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 X1 Xα Xm O X(x˜) = X(y˜) x i -楫 y j -楫 gi(x˜) g(j)(y˜) X(xˆ) = X(yˆ) x i -楫 y j -楫 gi(xˆ) g(j)(yˆ) x 1 x i xm O x i -楫 x i -楫 xˆ x˜ Dx y 1 y j ym O y j -楫 y j -楫 yˆ y˜ Dy Figure 1: 完整基示意 定理 2.2 (张量分量间的坐标转换关系). 以 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j ∈ T 2 (R 3 ) 为例, 有如下关系: Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j = Φ (i)  (j) g(i) ⊗ g (j) ; ∇ ⊗ Φ = ∇kΦ i ·jg k ⊗ gi ⊗ g j = ∇(k)Φ (i)  (j) g (k) ⊗ g(i) ⊗ g (j) . 所以有分量之间的转换关系 Φ (p)  (q) = C (p) i C j (q) Φ i  j ; ∇(l) Φ (p)  (q) = C k (l)C (p) i C j (q)∇kΦ i  j . 定理 2.3 (第一类 Christoffel 符号的坐标转换关系). Γ (l) (p)(q) = C (l) k C i (p)C j (q) Γ k ij − C i (p)C j (q) ∂C(l) j ∂xi = Γ (l) (q)(p) . 2