非完整基理论及应用 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 2完整基之间的相互关系 定理21.设{x3}m1和{x}m1为Rm中的两个完整系,则相应有如下坐标转换关系 此处 ar0) (c:=a axs 证明由于{x2}m1和{x}m1为Rm中的两个完整系,可认为两者之间存在微分同胚.对 协变基向量,有 a x ax ax 9()-9r( 对逆变基向量,有 9全v2()a 同理,有 zgG 进一步,考虑到 ax(k)axj 亦即,坐标转换系数{C01m=1与{C0}=1仅有一组独立,两者之间满足互逆关系 图1为完整基示意 按简单张量的基本性质,易得相对不同基的张量分量之间的转换关系张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 2 完整基之间的相互关系 定理 2.1. 设 {x i} m i=1 和 {x (i)} m i=1 为 R m 中的两个完整系, 则相应有如下坐标转换关系:    g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j ,    gi =: C (j) i g(j) , g i =: C i (j) g (j) . 此处    C i (j) := ∂xi ∂x(j) , C (i) j := ∂x(i) ∂xj . 证明 由于 {x i} m i=1 和 {x (i)} m i=1 为 R m 中的两个完整系, 可认为两者之间存在微分同胚. 对 协变基向量, 有 g(i) , ∂X ∂x(i) = ∂xj ∂x(i) ∂X ∂xj = ∂xj ∂x(i) gj =: C j (i) gj , 对逆变基向量, 有 g (i) , ∇x (i) = ∂x(i) ∂Xα iα = ∂x(i) ∂xj ∂xj ∂Xα iα = ∂x(i) ∂xj g j =: C (i) j g j . 同理, 有 gi = ∂x(j) ∂xi g(j) =: C (j) i g(j) , g i = ∂xi ∂x(j) g (j) =: C i (j) g (j) . 进一步, 考虑到 ( C i (k) ) (C (k) j ) = ( ∂xi ∂x(k) ∂x(k) ∂xj ) = ( δ i j ) = Im, 亦即, 坐标转换系数 {C i (j) } m i,j=1 与 {C (i) j } m i,j=1 仅有一组独立, 两者之间满足互逆关系. 图1为完整基示意. 按简单张量的基本性质, 易得相对不同基的张量分量之间的转换关系. 1