解法一：（联合概率密度法） B0)=x,d=原xmx+h= 4 解法二：（边缘概率密度法）(X,Y)关于X的边缘概率密度为 L(x)-Jf(x.y)dy- B广nr+pM0sxs子血sx0sx号 2= 2 0 其它 0 其它 0)-ch-x.-月 2 4 但是求E(Y)只能用联合概率密度法： Em=xh-yx+0h=受-l 例7己知随机变量(X,Y)的概率密度为 fx,》=0 Ay 0≤x≤1,0≤y≤1 其它 求：(1)A:(2)E(X),E(Y):(3)E(X2):(4)EXY)。 解(1)由fx,yh=l得Axd=l所以，A=4 (2))=广fx,y= 40d=2x0≤x≤1 0 其它 所以0=2=号 同理以0)=号 (3) BX=r2=2 4m=rxnh=g4d=4rr=号 四数学期望的性质 1设C是常数，则有E(C)=C。 2设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X) 3设X、Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。 4设X、Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。 解法一：（联合概率密度法） E X( ) = 2 2 0 0 1 ( , ) sin( ) 2 4 xf x y dxdy x x y dxdy   + +  − − =  + =     解法二：（边缘概率密度法） ( , ) X Y 关于 X 的边缘概率密度为 2 0 1 sin cos sin( ) 0 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 0 0 x x x x y dy x x f x f x y dy    + −   +   +     = =         ＝ 其它 其它 E X( ) = 2 0 1 sin cos ( , ) 2 2 4 x x x xf x y dx x dx  +  − + =  =   但是求 E XY ( ) 只能用联合概率密度法： E XY ( ) = 2 2 0 0 1 ( , ) sin( ) 1 2 2 xy f x y dxdy xy x y dxdy   + +  − − =  + = −     例7 已知随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 0 1, 0 1 ( , ) 0 Axy x y f x y      =   其它 ， 求：（1） A ； （2） E X( ) ， E Y( ) ；(3) 2 E X( ) ； (4) E XY ( ) 。 解 （1）由 f x y dxdy ( , ) 1, + +  − =   － 得 1 1 0 0 Axydxdy =1,   所以，A＝4 （2） ( ) x f x = 1 0 4 2 0 1 ( , ) 0 xydy x x f x y dy +    =   =    － 其它 所以 E X( ) 1 0 2 2 3 x xdx = ＝ 同理 E Y( ) = 2 3 （3） 2 E X( ) 1 2 0 1 2 2 x xdx = ＝ （4） E XY ( ) = 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 4 ( , ) 4 4 9 xy f x y dxdy xy xydxdy x dx y dy + + − − =  = =       四 数学期望的性质 1 设 C 是常数，则有 E C C ( ) = 。 2 设 X 是一个随机变量， C 是常数，则有 E CX CE X ( ) ( ) = 3 设 X 、Y 是两个随机变量，则有 E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。 4 设 X 、Y 是相互独立的随机变量，则有 E XY E X E Y ( ) ( ) ( ) = 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况