前 言 由常微分方程（或方程组）描述的集中参数系统，状态空间为有限维，最优控制的研究 由Pontryagin的极大值原理和Bellman的动态规划给出了漂亮的结果。然而，自然界中的 物理系统，本质上都是分布的，当要求对系统的动态特性更精确地描述和更有效地控制时， 成为由偏微分方程（或方程组）表述的分布参数系统，状态空间为无穷维。和有穷维空间比 较，无穷维空间有很多本质上的特点，一般的分布参数系统控制问题难于从数学上进行讨 论，而具体类型的研究则可以得到便于应用于实际的结果。本文就二次性能指标泛函的热传 导过程、扩散过程等由一维线性抛物型方程描述的系统最优控制问题，在包含分布控制和 边界控制两者混合控制的情况下，证明最优反馈控制的存在性；参照McGlothi的结果(3)， 给出最优控制律，然后通过特殊情况讨论的结果〔1,2)加以验证。 1数学模型 我们选取通常意义的Hilbert:空间L2〔0，】〕为状态空间。对于一般的一维热传导、分 子扩散等物理过程，考虑到内部能源，如在铁水中吹入氧气、发生化学反应，电流在导体内 产生的热效应等，并且把非线性边界条件线性化，得到系统的数学描述一一规范化的抛物型 偏微分方程： u(t,x)=a02u(t,x)+bfo(t,x）(t,x)∈〔0，T)×〔0,1) at ⑦x2 au(t,0)+B:u(t0)=b:f:(t) Ox t∈〔0，T) (1) aau (t,1)+B:0u(tl)=bafa (t) u(0,x)=uo(x) x∈〔0,1) 其中a、b、a1、a2、B:B2、b、b2均为常数，且a>0,在实际物理过程中，边界条件 是独立的，且不论对于哪一类边界条件，均有： a1a2≥0y BB2≤0ya2B:-aβ2≤0 (2) 成立，因此得到： a2B1-a1B2-aia210 (3) 或BB2+0 (4) 至少有一式成立。 初始状态“o(x)是有界函数： Iu(x)1=〔∫1o(x)1ax)≤M (M>0) 设： f(t,x)=col〔fo(t,x),f:(t),fa(t)〕 (6) 容许控制集合为： U.a={f(t,x)|f(t,x)=F(t,x)u,F（t,x)有界， “属于系统方程(1)的解集合} 74， 前 ，目一目口 曰 公口 由常微分方程 或 方程组 描述 的集 中参数系统 ， 状态空 间为有限维 ， 最优控制 的研究 由 的极大值原理和 的动态规划给 出了漂 亮的结果 。 然而 ， 自然界 中 的 物理 系统 ， 本质上都是 分布 的 ， 当要求对 系统 的动态特性更精确地描述和 更有效地控制时 ， 成 为 由偏微分 方程 或方程组 表述 的分布参数 系统 ， 状态空 间为无 穷维 。 和 有穷维空 间比 较 ， 无穷维空 间有很多本质上 的特点 ， 一 般 的分布参数 系统控制 问题难于从数 学 上 进 行讨 论 ， 而具体 类型 的研究 则可 以 得到便于应用 于实际 的结果 。 本文就二次性 能指标泛 函 的热传 导过 程 、 扩散过程等 由一维 线性抛 物型 方程描述 的系统 最优控制问题 ， 在包 含分 布 控 制 和 边界控制两 者混 合控制 的情况 下 ， 证 明最优反馈控制 的存在性 参照 的结 果 〔 〕 ， 给 出最优控制律， 然 后 通过特殊情况讨论 的结果 〔 ’ 〕加 以验证 。 数 学 模 型 我 们选 取通 常意 义 的 空 间 “ 〔 一 ， 〕 为状态空 间 。 对 于 一般 的一维热传导 、 分 子扩散等物理过 程 ， 考虑到 内部能源 ， 如 在铁 水 中吹 人氧气 、 发 生化学反 应 ， 电流在导体 内 产生 的热效应 等 ， 并且把非线 性边界条件线性化 ， 得到 系统 的数学 描述－ 规范化 的抛物型 偏微分 方程 』竺互上三 “ ， 么 口 ， ， ， 〔 〔 ， 〕 〔 ， 〕 ， 日 二 ， ， 〔 〔 ， 〕 ， ， 。 火 ， 二 任 〔 ， 〕 其 中 、 、 卜 、 日卜 日 、 ，、 均 为常数 ， 是 独立 的 ， 且不论对 于 哪 一 类边界 条件 ， 均有 七 ， 日 泣日三 。 成立 ， 因此 得到 日 一 ，日 一 ， 今 或 日 ，日 今 至 少有 一式 成立 。 初始 状态 。 是 有界函数 且 ， 在实 际物理 过程 中 ， 边 界条 件 日 一 日 三 〔 、了矛、 丁 一 ， ， 〕 ‘ “ 三 设 ， 二 〔 ， ， ， ， 〕 容许控制集合 为 。 ， ， 二 ， ， ， 有界 ， 属 于 系统 方程 的解集合