46 线性代数重点难点30讲 即 k1a1+k2(a1+a2)+…+k,(a1+a2)+…+an)=0, 整理后得(k1+k2+…+k)a1+(k2十…十k,)a2+…+k,a,=0, 但因a1,a2,…,a,线性无关要上式成立,只有k=0,…,k2+k+…+k=0,k1+k2+… k,=0,由此可知,只有k1=k2=…=k,=0,才能使(*)式成立,故b1,b2,…,b,线性无关 小结由上述例4至例9可以归纳出判定向量组的线性相关性的一般方法 (1)基本方法:利用线性相关与无关的定义判定,其特点是向量组a1,a2,…,an中的每 个向量a都给出分量,即a=(a1,a3,…,an),=1,2,…,m.判定相关性时利用定 义,设一组数k,i=1,2,…,m,使 k1a1+k2a2+…+knam=0, 0 k +…+k +k,a1+ Jkan+k2a2+…+k2m=0 karL +k2an2 +.+kma, m=0 按解齐次线性方程组的方法,若只有解k1=k2=…=km=0,则由线性无关定义知, 所给向量组线性无关;若解得k(i=1,2,…,m)不全为零,则由线性相关定义知,所给向量 组线性相关 (2)利用向量组所构成的矩阵的秩,判定相关性 ①b能由向量组a1,a2,…,am线性表示的充要条件是向量组构成的矩阵A=(a1,a2, an)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩; ②向量组a1,a2,…,an线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,…,am) 的秩R(A)<m(即向量的个数),向量组线性无关的充要条件是R(A)=m