第9讲向量组的线性相关性 由此得出方程组: k1+k2+5k3=0 k1+3k2+3k3=0, k2+块k3=0. 115||115 其系数行列式D=133=02-2|=2(4-1) 当t≠1,D≠0,方程组只有零解:k1=k2=k3=0,即a1,a2,a3线性无关 当t=1时,D=0,方程组有非零解.解此方程组得:k2=1,k3=1,k1=-6,则有 0,即a3=6 解法2利用例6解法2所叙述的线性相关与线性无关的充要条件,对向量组构成的矩 阵A施行初等变换: A=(a1,a2,a3)= 33 02-2 511 00 当t≠1时,R(A)=3与向量个数相等,故a1,a2,a3线性无关 当t=1时,R(A)=2<3,故a1,a2,a3线性相关.此时 6 A-01 000 由此可得:a3=6a1-a2(即-6a1+a2+a3=0) 例9证明下列命题: (1)设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b,=a4+a1,则b1,b2,b3,b4线性 相关; (2)设b1=a,b2=a1+a2,…,b=a1+a2+…+a,且a1,a2,…a,线性无关, 则b,b2,…,b,也线性无关 证(1)由于向量组a1,a2;a3,a4的线性相关性不明确且没有给出分量,故不能直接 用定义判别相关性,但由所给出的线性表达式可以看出b1,b2,b3,b之间的线性关系 (b3-a3)+a1=b-(b2 b3-b2+(b1-a1)+a1=b3-b2+b 即b1-b2+b3-b4=0,故b1,b2,b3,b4线性相关 (2)因a1,a2,…,a,线性无关已知,故可用定义证明设有一组数k1,k2,…,k,使 k,b1 + k2b k,b,=0