4 线性代数重点难点30讲 -411 r3X4 00 1000 由此可得R(A)=3(向量个数).故b1,b2,b3线性无关 例7判定向量组 a1=(1,a,a2,a3),a2=(1,b,b2,b3),a3=(1,c,c2,c3)",a4=(1,d,d2,d3) 的线性相关性,其中a,b,c,d互不相同 解法1利用定义设一组数k1,k2,k,k:,使ka1+k2a2+k3a3=0.由此得到方程 组 k k,+ k k4=0 ak, bk,t ck3+ dk 4 =0 a2k+b2k2+c2k3+d2k4=0, a3k1+b3k2+c3k3+d3k4=0 由于此方程组的系数行列式D是四阶范德蒙行列式,且a,b,c,d各不相同,则 1111 d D=ab'c/=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)#0 因此方程组只有零解:k1=k2=k3=k4=0.即只有k1=k2=k3=k4=0,才能使k1a1 +k2a2+k3a3=0成立,由线性无关的定义知,a1,a2,a3,a4线性无关 解法2向量组构成的矩阵为 b d 因a,b,c,d各不相同,故各阶子式均不为零,最高阶不为零的子式1A为四阶范德蒙行列 式,A1≠0.即R(A)=4与向量个数相等因而由线性无关的充要条件可知,a1,a2,a3 a4线性无关 注:本题若用初等变换求R(A),则求秩过程稍繁琐一些.因此,对不同的题应采用相 的简便方法 例8讨论向量组a1=(1,1,0),a2=(1,3,-1)2,a3=(5,3,t)的线性相关性.线 性相关时,写出其线性表示式 解法1利用线性相关与无关的定义.设一组数k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+k3a3=0