第9讲向量组的线性相关性 43 解法2利用向量组a1,a2,…,an线性相关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,an)的 秩R(A)<m(向量的个数)及向量组a1,a2,…,a线性无关的充要条件是R(A)=m,即 把线性相关性的判定转化为向量组构成的矩阵A的求秩问题.由于用初等变换求矩阵的秩 是我们已熟悉的方法,且避免了解上述方程组,所以这里可以用求矩阵秩的方法来判断向量 组的线性相关性.本题向量组构成的矩阵A=(a1,a2,a3),对A进行初等行变换: a1,a2, 17 nx(-) 01-2 000 即R(A)=2<3(向量个数),故a1,a2,a3线性相关 (2)解法1按线性相关与线性无关的定义,设有一组数k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+ k3a3=0.由此得方程组: 2k1+3k2+k3=0 2k1-k2+k3=0 7kt+2k2+3k3=0 解此方程组得k3=0,k2=0,k1=0.即只有k1=k2=k3=0,才能使k1a1+k2a2+k3a1 =0成立,由线性无关的定义知,b1,b2,b3线性无关 解法2所给向量组的矩阵A=(b1,b2,b3).对A进行初等行变换 31 4 723 141 3n×0 03010 031 r4+2r1 0113 011 3 413 03 000