42 线性代数重点难点30讲 由此可知R(A)=R(B)=4.则由b能由a1,a2,…,am线性表示的充要条件是矩阵A= (a1,a2,…,an)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩可知,b能由a1,a2,a3,a4线性 表示,且由矩阵B经初等行变换后的行最简形式知其可表示为: b 例5下列向量b2(i=1,2,3)能否由a1,a2,a3,a4线性表示?若能,试写出表示式.其 中 a1=(1,0,0,0),a2=(1,1,0,0),a3=(1,1,1,0),a4=(1,1,1,1); b1=(-2,1,1),b2=(2,1,-1,3),b3=(2,1,-1,0,0) 解因b是3维向量,b是5维向量,它们不能由4维向量a1,a2,a3,a4线性表示(维 数不同则不能进行线性运算).又因a1,a2,a3,a4线性无关(可由定义证明),故任一4维向 量都可以由它们线性表示,即b2可以由它们线性表示 设b2=k1a1+k2a2+ka3+ka4,由此可得方程组 k, k 解之得:k4=3,k3=-4,k2=2,k1=1.则 b2=a1+2a2-4a3+3a4(也可用类似例4解法2处理) 例6判断下列向量组的线性相关性: (1)a1=(1,2,3),a2=(1,-4,1),a3=(1,14,7); (2)b1=(2,2,7,-1),b2=(3,-1,2,4),b,=(1,1,3,1) 解(1)解法1利用线性相关与线性无关的定义,设有一组数k1,k2,k3,使k1a1+ k2a2+k3a3=0,即 k12+k2-4+ 7 由对应分量相等,得方程组: 2k1-4k2+14k3=0 3k1+k2+7k3 解此方程组得:k1=3,k2=-2,k3=-1.即存在一组不全为零的数k1,k2,k3,使k1a1+ k2a2+k3a3=0.由线性相关的定义可知,a1,a2,a3线性相关