《数学分析(1,2,3)》教案 问题1上面最后一个式子能否写为 lim f(arctan -=f()>0 事实上,ξ是依赖于y的,极限的存在性还难以确 例:设∫(x)在[a,b连续,求证 y(x)=(m(x-)(其中ac∈b 满足微分方程y”+k2y=f(x) 证:令g(x,1)=f(m)snk(x-1),则 8(x, n=kf(ocos k(x-1 8, (x, n=-k f(osin k(x-1) 它们都在[a,b]×{a,b上连续,则 y(x)=f()cos(x-t)dt y"(x)=-kf(sin k(x-1)dt+f(x) k∫f()sink(x-t)dt+f(x)+k∫()snk(x-t)dt =f(x) 例:设f(x)为连续函数 F(x)=叮f(x+5+n)lm 求F"(x)。 令x+5+n=l F(x)=Jr]r(x+5+mdnlds=ds Sr(u)du F'(x)=[/(x+5+h)ds-5(+5)d5 在第一项中令x+5+h=u,在第二项中令x+5=u,则 17-3《数学分析（1，2，3）》教案 17-3 问题 1 上面最后一个式子能否写为 y f y 1 lim ( ) arctan 0  → ( ) 0 2 =    f 。 事实上，  是依赖于 y 的，极限的存在性还难以确定。 例：设 f (x) 在 [a,b] 连续，求证  = − x c f t k x t dt k y x ( )sin ( ) 1 ( ) （其中 a,c [a,b] ） 满足微分方程 ( ) 2 y  + k y = f x 。 证：令 g(x,t) = f (t)sin k(x − t) ，则 g (x,t) kf(t)cos k(x t) x = − ， ( , ) ( )sin ( ) 2 g x t k f t k x t xx = − − 它们都在 [a,b][a,b] 上连续，则   = − x c y (x) f (t)cos k(x t)dt y (x) k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c  = − − +  y k y 2  + k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c = −  − + +  − x c k f (t)sin k(x t)dt = f (x) 例：设 f (x) 为连续函数， F x f x   d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0   = + + 求 F(x)。 解：令 x +  + = u ，则 F x f x   d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0   = + +   + + + = x h x h d f u du    ( ) 0 ( ) [ ( ) ( ) ] 0 0    = + + − + h h F x f x  h d f x  d 在第一项中令 x + + h = u ，在第二项中令 x +  = u ，则