《数学分析(1,2,3)》教案 F(y)=Jm,(xy+/(b(y)y)b(0)-/(a(y),y(y) 例:设F(y)= ry In(1+yx d,求F(y)。 定理5若函数f(x,y)在矩形[a,bCd]上连续,则 d(xy)=小(xy 注:在定理的条件下,累次积分可交换求积分的次序。 例:求1(y)= dx 例:研究函数F(y)-∫y(在的连续性,其中()2是上连续且为正的函数 解:令g(x1=y(x),则g(x,y)在[0.x,d连续,其中0ed。从而F(y)在y≠0连续。 + J 当y=0时,F(0)=0 当y>0时,记m=mn.f(x)>0,则 F()-303)女2m一=mmn 若lmF(y)存在,则limF(y)≥ lim mactan 1xm>0=F(0) 故F(y)在y=0不连续。 或用定积分中值定理,当y>0时,彐5∈[O,],使 FO f(x) d=(5)J y f()arctan=f(5)arctan 若lmF(y)存在,则 Im F()=lim f()arctan-2m>0 故F(y)在y=0不连续 17-2《数学分析（1，2，3）》教案 17-2 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) '( ) ( , ) , '( ) , '( ) b y y a y F y f x y dx f b y y b y f a y y a y = + −  。 例：设 ( ) 1 ln 1 ( ) y yx F y dx x + =  ，求 F y '( ) 。 定理 5 若函数 f (x, y) 在矩形 a b c d , ; ,  上连续，则     = b a d c d c b a dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx . 注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。 例：求 ( ) 1 0 ln b a x x I y dx x − =  。 例： 研究函数  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y 的连续性，其中 f (x) 是 [0,1] 上连续且为正的函数。 解： 令 2 2 ( ) ( , ) x y yf x g x y + = ，则 g(x, y) 在 [0,1][c,d] 连续，其中 0[c,d] 。从而 F( y) 在 y  0 连续。 当 y = 0 时， F(0) = 0 当 y  0 时，记 min ( ) 0 [0,1] =   m f x x ，则  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y  +  1 0 2 2 dx x y y m y m 1 = arctan 若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则  → + lim ( ) 0 F y y y m y 1 lim arctan 0 → + 0 (0) 2 = m  = F  故 F( y) 在 y = 0 不连续。 或用定积分中值定理，当 y  0 时，  [0,1] ，使  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y  + = 1 0 2 2 ( ) dx x y y f  y f y x f 1 ( ) arctan ( ) arctan 1 0 =  =  若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则 = → + lim ( ) 0 F y y y f y 1 lim ( ) arctan 0  → + 0 2  m   故 F( y) 在 y = 0 不连续