《数学分析(1,2,3)》教案 第十七章含参变量的积分 设函数∫(xy)在矩形{abcd]上连续。定义含参积分 b(r) 1(y)=」f(x,y)x和F(y) f(x, y)d 含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上 和应用上都有重要作用,有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数 下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性,可微性与可积性。 定理1若函数f(x)在矩形{be小上连续则函数)=/(x,y在上连续 注:在定理的条件下,有 lim/(x, yyx= limf(x, yk 即极限运算可以通过积分号 例:求lm y dx 定理2若函数f(x,y及其偏导数f,(x,y)都在矩形[abc,d]上连续,则 f(x, y)dx=f, (x, y)dx 也就是微分运算可以通过积分号 例:当y=0时,能否利用定理2计算F(y)=n√2+y的导数? 定理3若函数f(xy)及其偏导数J(x,y)在矩形域D={(x,y)a()x≤bcsy≤l}上连续,函数 a(y)和b(y)在[c,d]上连续,并且 a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b,(c≤y≤d) 则函数F(y)=m,(xy)在cd上连续 例:求lm y→0Jy1+x-+y 定理4设函数函数f(x,y)及其偏导数∫(xy)在矩形域D={(x,y)a(y)sx≤ b(), csy≤d}上连续, 函数a(y)和b(y)在[c,d]上存在,并且 a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b,(c≤ysd) 则 17《数学分析（1，2，3）》教案 17-1 第十七章 含参变量的积分 设函数 f x y ( , ) 在矩形 a b c d , ; ,  上连续。定义含参积分 ( ) ( , ) b a I y f x y dx =  和 ( ) ( ) ( ) ( , ) b y a y F y f x y dx =  . 含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上 和应用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数。 下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性，可微性与可积性。 定理 1 若函数 f (x, y) 在矩形 a b c d , ; ,  上连续, 则函数 ( ) ( , ) b a I y f x y dx =  在 [ , ] c d 上连续. 注：在定理的条件下，有 ( ) ( ) 0 0 lim , lim , b b y y y y a a f x y dx f x y dx → → =   ， 即极限运算可以通过积分号。 例：求 1 2 2 0 1 lim y x y dx → − +  。 定理 2 若函数 f (x, y) 及其偏导数 f x y y ( , ) 都在矩形 a b c d , ; ,  上连续, 则 ( , ) ( , ) b b y a a d f x y dx f x y dx dy =   ， 也就是微分运算可以通过积分号。 例：当 y = 0 时，能否利用定理 2 计算 ( ) 1 2 2 0 F y x y dx = + ln  的导数？ 定理 3 若函数 f (x, y) 及其偏导数 f x y y ( , ) 在矩形域 D x y a y x b y c y d =     ( , ) ( ) ( ),  上连续, 函数 a y( ) 和 b y( ) 在 [ , ] c d 上连续，并且 a a y b a b y b     ( ) , ( ) ，(c y d   ) 则函数 ( ) ( ) ( ) ( , ) b y a y F y f x y dx =  在 [ , ] c d 上连续。 例：求 1 2 2 0 1 lim 1 y y y dx x y + → + +  。 定理 4 设函数函数 f (x, y) 及其偏导数 f x y y ( , ) 在矩形域 D x y a y x b y c y d =     ( , ) ( ) ( ),  上连续， 函数 a y '( ) 和 b y '( ) 在 [ , ] c d 上存在，并且 a a y b a b y b     ( ) , ( ) ，(c y d   ) 则