9.1环 例9-1：（(1)：<Z,+,·>, <Q,十，·>， <R,+,:>, <C,+,·>均为环： (2):实数分量的n×n方阵集 合Mn(R),构成环：<Mn(R),+,●>；(3)：<P(A),©，∩> (4)<Zk,十k,Xk>为环。 证：<Zk,十k>为加群，<Zk,×k>为半群； a,b∈Zk,有a+kb=(a+b)modk,a×kb=(a×b)modk .a×k(b+kc)=a×k(b+c)modk)=(a●(b+c)modk)modk =(a●(b+c)modk=(a●b+a●c)modk =(a●b)modk+k(a●c)modk=a×kb+ka×kc 同理：(b+kc)×ka=b×ka+kc×a.为环。 (5):<{0},+,·>(0为加法么元，乘法零元)为环， 称为零环；(6)：<{0,1}，+，·>(1为乘法么元)为环 2/732/73 9.1 环 • 例9-1：(1):<Z,+,·>， <Q,+,·>， <R,+,·>， <C,+,·>均为环；(2):实数分量的n×n方阵集 合 Mn (R) ，构成环：  M (R),+, •  ；(3): n  P(A),,  (4): Zk ,+k ,k 为环。 同理： 为环。 ，有 证： 为加群， 为半群； +  =  +   = • + • =  +  = • + = • + •   + =  + = • +   + = +  =   +     b c a b a c a a b k a c k a b a c a b c k a b a c k a b c a b c k a b c k k a b Z a b a b k a b a b k Z Z k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ( ) ( )mod ( )mod ( ( ))mod ( )mod ( ) (( )mod ) ( ( )mod )mod , ( )mod , ( )mod , , (5):<{0},+, ·>(0为加法幺元，乘法零元)为环， 称为零环；(6):<{0,1},+, ·>(1为乘法幺元)为环