北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 3函数 3.1函数的某些性质及函数极限 3.1.1定义1设f为定义在D上的函数，若对任何正数M,都存在x。∈D, 使得f(x>M,则称f为D上的无界函数。 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似。然而，这两个概念有本 质上的差别。 若x→x时，f(x)→o,则f在x,的每个邻域内必定无界。反之，函数f, 它在x,的任何邻域内都是无界的，但当x→x时，f(x)并不趋于无穷大。 设 f(x)=cos(1/x)/x, 则对无论多大的正数M,总有充分接近于x=O的点，使 cos(1/x)/x>M. 例如，取x=Vnπ，则cos/x)/x=nπ，故当n>M/π时，就有 cos(1/x)/M. 因此，函数f在x=0的任何邻域内都是无界的。 然而，若取无，=m+z,则当n→时，龙→0，此时cosx/水，→0， 即f并不趋于无穷大。 因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。 3.1.2容易证明，若r≠0是函数f的周期，则-r也是f的周期，r(n=1, 2,…)也是∫的周期。由此可见，周期函数的一切周期组成了一个关于原点对 称的无穷集合。因此，对周期函数的周期进行研究时，只要研究其正周期就够了。 即使对于定义在整个数轴上的周期函数的所有正周期而言，并不是都有最小 的。例如，定义在整个数轴上处处不连续的Dirichelet函数北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 3 函 数 3.1 函数的某些性质及函数极限 3.1.1 定义 1 设 f 为定义在 D 上的函数，若对任何正数M ，都存在 x0 ∈ D， 使得 f (x0 ) > M ，则称 f 为 D 上的无界函数。 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似。然而，这两个概念有本 质上的差别。 若 0 x → x 时， f (x) → ∞ ，则 f 在 0 x 的每个邻域内必定无界。反之，函数 f ， 它在 0 x 的任何邻域内都是无界的，但当 0 x → x 时， f (x)并不趋于无穷大。 设 f (x) = cos(1 x) x ， 则对无论多大的正数 M，总有充分接近于 x = 0 的点，使 cos(1 x) x＞M . 例如，取 x = 1 nπ ，则 cos( ) 1 x x = nπ ，故当 n＞M π 时，就有 cos(1 x) x＞M . 因此，函数 f 在 x = 0 的任何邻域内都是无界的。 然而，若取 )π 2 1 xn =1 (n + ，则当n → ∞ 时，xn → 0，此时cos(1 xn ) xn → 0 ， 即 f 并不趋于无穷大。 因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无 穷大并不等价。 3.1.2 容易证明，若r ≠ 0是函数 f 的周期，则− r 也是 f 的周期，nr （n=1, 2, … )也是 f 的周期。由此可见，周期函数的一切周期组成了一个关于原点对 称的无穷集合。因此，对周期函数的周期进行研究时，只要研究其正周期就够了。 即使对于定义在整个数轴上的周期函数的所有正周期而言，并不是都有最小 的。例如，定义在整个数轴上处处不连续的 Dirichelet 函数