第二十五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 §25.1自伴算符的本征值问题 定义251设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算符,若对于该函数空间内的任 意两个函数u和t,恒有 (u, Lu)=(Mu, u)Ep / u'Ludx=/(Mu)"udx, 则称M是L的伴算符 例 若L、d ,于是 u*dr=u*u 所以,当u和v都满足边界条件 y(a=y(b) 时,z的伴算符是、 定义25.1中的算符M和L是互为伴算符,因为如果M是L的伴算符,则对于任 意函数u和v,也有 u*Mudr =/(Mu)udr u’Ludx (Lu"udr 所以,L也是M的伴算符. 例252设L ,容易证明 'n'-(u)u+ udr 所以,当函数u和υ都满足一、二、三类边界条件 ay(a)+B1y/(a)=0,a2(b)+B2y(b)=0 (其中a2+112≠0,|a22+1B22≠0)或周期条件 y(a)=y(b), y(a)=y(b) 时 的伴算符就是它自身Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ Sturm-Liouville ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ §25.1 ✍✎✏✑✒✓✔✕✖✗ ✘✙ 25.1 ✚ L ✛ M ✜✢✣✤✥✢✦✧★✩ ✪✫ (✬✭) ✮✯✰✱✲✳✴✦✧★✩ ✪✫✵ ✶✷✸✦✧ u ✛ v ✰✹✺ (v, Lu) = (Mv, u) ✻ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗udx, ✼✽ M ✾ L ✫ ✿❀❁ ❂ ❃ 25.1 ✱ L = d dx ✰✳✾ Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u    b a − Z b a dv ∗ dx udx. ❄❅✰❆ u ✛ v ❇❈❉❊❋●❍ y(a) = y(b) ■ ✰ d dx ✫❏✮✯✾ − d dx ❂ ✢✣ 25.1 ❑✫✮✯ M ✛ L ✾▲✜❏✮✯✰▼✜◆❖ M ✾ L ✫❏✮✯✰✼ ✲✳✵ ✶ ✦✧ u ✛ v ✰P✺ Z b a v ∗Mudx = "Z b a (Mu) ∗ vdx #∗ = "Z b a u ∗Lvdx #∗ = Z b a (Lv) ∗udx, ❄❅✰ L P✾ M ✫❏✮✯❂ ❃ 25.2 ✚ L = d 2 dx 2 ✰◗❘❙ ❚ Z b a v ∗ d 2u dx 2 dx = h v ∗u 0 − (v ∗ ) 0u ib a + Z b a  d 2v dx 2 ∗ udx. ❄❅✰❆✦✧ u ✛ v ❇❈❉✥❯❱❯❲❳❊❋●❍ α1y(a) + β1y 0 (a) = 0, α2y(b) + β2y 0 (b) = 0 (❨ ❑|α1| 2 + |β1| 2 6= 0, |α2| 2 + |β2| 2 6= 0) ❩❬❭●❍ y(a) = y(b), y0 (a) = y 0 (b) ■ ✰ d 2 dx 2 ✫❏✮✯❪✾❫ ❴ ❵ ❂