§25.1自伴算符的本征值问题 定义25.2若算符L的伴算符就是它自身,即对于该函数空间内的任意两个函数u和 恒有 (,DLu)=(L,u)即o°Ldx=/(Ln)adx 则称L是自伴算符 例253在和例4完全相同的条件下,算符i就是自伴算符 (=)u=-==(=)吨 算符的自伴性,总是和一定的函数空间联系在一起的.通常,我们总是要求 函数定义在给定的区间上 ·函数具有足够的连续性(例如,对于二阶微分算符,就要求函数的二阶导数连续,至 少分段连续;如果是无界区间,则要求函数平方可积) 因此,实际上总是限于 Hilbert空间.并且,还要求 函数满足一定的边界条件,即总是局限在 Hilbert空间中的一定子空间内 绝不能脱离边界条件的约東来讨论算符的自伴性 一个算符,相对于某一类函数是自伴的,但对于另一类函数,就可能不是自伴的 例254设L 而将边界条件取成更一般的形式 y(b)=ay(a),a为(复)常数 于是 drude i(aa*-1u(a)u(a)+ u dr 所以只有边界条件中的a满足aa*=1时,算符i才是自伴的 定义25.3设L为自伴算符,则方程 Ly(a)=Ay( 称为自伴算符的本征值问题 这里没有明确写出齐次边界条件,是因为它已经隐含在自伴算符L的定义中了Wu Chong-shi §25.1 ❛ ❜❝❞❡❢❣❤✐❥ ❦ 2 ❧ ✘✙ 25.2 ✱✮✯ L ✫❏✮✯❪✾❫ ❴ ❵ ✰✻✲✳✴✦✧★✩ ✪✫✵✶✷✸✦✧ u ✛ v ✰ ✹✺ (v, Lu) = (Lv, u) ✻ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Lv) ∗udx, ✼✽ L ✾ ♠✿❀❁ ❂ ❃ 25.3 ✤✛♥ 4 ♦♣qr✫●❍s✰✮✯ i d dx ❪✾ ❴❏✮✯❂ Z b a v ∗  i du dx  dx = −i Z b a dv ∗ dx udx = Z b a  i dv dx ∗ udx. ✮✯✫ ❴❏t✰✉✾✛✥✢✫✦✧★✩✈✇✤✥①✫❂②③✰④⑤✉✾⑥⑦ • ✦✧✢✣✤⑧✢✫⑨✩⑩✰ • ✦✧❶✺❉❷✫❸❹t (♥◆✰✲✳❱❺✬✭✮✯✰❪⑥⑦✦✧✫❱❺❻✧❸❹✰❼ ❽ ✭❾❸❹❿◆❖✾➀❋⑨✩✰✼ ⑥⑦✦✧➁➂➃➄) ✰ ▼➅✰➆➇⑩✉✾➈✳ Hilbert ★✩❂➉➊✰➋⑥⑦ • ✦✧❈❉✥✢✫❊❋●❍✰✻✉✾➌➈✤ Hilbert ★✩ ❑✫✥✢➍★✩ ✪❂ ➎➏➐➑➒❊❋●❍✫➓➔→➣↔✮✯✫ ❴❏t❂ ✥ ✸ ✮✯✰q✲✳↕✥❳✦✧✾ ❴❏✫✰➙✲✳➛✥❳✦✧✰❪➃➐➏✾ ❴❏✫❂ ❃ 25.4 ✚ L = i d dx ✰➜➝❊❋●❍➞➟➠✥➡✫➢➤ y(b) = αy(a), α✜ (➥) ③✧. ✳✾ Z b a v ∗ i du dx dx = iv ∗u    b a − i Z b a dv ∗ dx u dx = i(αα∗ − 1)u(a)v ∗ (a) + Z b a  i dv dx ∗ u dx. ❄❅➦✺❊❋●❍ ❑✫ α ❈❉ αα∗ = 1 ■ ✰✮✯ i d dx ➧✾ ❴❏✫❂ ✘✙ 25.3 ✚ L ✜ ❴❏✮✯✰✼ ➂➨ Ly(x) = λy(x) ✽ ✜ ❴❏✮✯✫➩➫➭➯➲❂ ➳➵➸✺ ❚➺➻➼➽➾❊❋●❍✰✾▼✜❫ ➚➪➶➹✤ ❴❏✮✯ L ✫✢✣ ❑➘❂