二、基本理论 在金属塑性加工过程中，被加工物体弹性变形比起塑性变形要小得多，忽略弹性变形也 不会引起很大的误差，因而可以假设轧件为刚塑性材料。解决刚塑性问题必须满足基本方 程I1)。 根据最小位能原理，在所选择的运动许可的速度场ⅴ：中，能使泛函 ⑨=∫edv-∫sr下v:ds (1) 取最小值的Y:是问题的正确解。其中g为广义应力， 0=（11,) (2) 若采用Mises屈服条件，并设os,k分别为拉伸屈服点和剪切屈服点，则 o=0.=v 3 k, (3) e为广义应变速率， (4) 亚，为应力边界Sr上给定的表面力，v为体积。 为了便于选择速度场，可以把体积不可压缩条件，利用Lagrange乘子法，引入泛函式 (1)中，并考患到(3)式和(4)式，则泛函变为 ∮-∫7(n)声+∫.A8dv-∫ 亚：v;ds (5) ST 其中，入为Lagrange乘子，81为Kro necker记号。所有满足v:和et1之间的几何关系和 速度边界条件的速度场中，能使泛函式（5)取最小值的速度ⅴ：是正确解，这就是刚塑性 不完全广义变分原理（以后简称为刚塑性广义变分原理）。 为了获得有限单元法的最终矩阵方程，首先将刚塑性广义变分原理的泛函用矩阵表示， ∮=∫oedv+∫，A&cdv-∫，Tvds (6) 其中，、V分别为应变速率列阵和速度列阵；T为物体表面S上给定的外力列阵；C为矩 阵记号，它满足体积不可压缩条件eC=0,对平面应变何题CT=（110),矩阵右下角 的T表示矩阵转置。 关于有限单元法离散化和非线性矩阵方程的线性化步骤，在文献【：！中已有详细推导。 最终可以得到矩阵方程 [s].[8]-[R-:] (7) 其中，〔S。-1)和〔Ra-1)分别为整体刚度矩阵和等效载荷列阵，它们是由第n-1次迭代的速 度场解un-1计算到到的。(7)式则是关于△un和入n的线性方程组。给定运动许可速度场 138二 、 基 本理 论 在金属塑性加工过 程 中 ， 被加工 物 体弹性 变形 比起塑性变形要小得多 ， 忽略弹性变形 也 不 会引起 很大 的误 差 ， 因 而可 以 假设轧件为刚 塑性材料 。 解决刚塑性问 题 必须满足 基本方 程 ’ 。 根据最小位 能原 理 ， 在所选 择 的运 动许可的速 度场 ‘ 中 ， 能使泛 函 歹 ‘ 了万百‘ 一 了厂 ‘ 一 取最小值的 ‘ 是问 题 的 正确解 。 其 中云 为广义应 力 ， 。 ‘ ，·‘ ， 专 一 百、、 、 一 一 若采 用 屈 服 条件 ， 并设 。 ， 分别为拉伸屈服 点和剪切屈服点 ， 则 二 亿 飞厂 ， 一 一 。 为广义 应 变速率 ， 二 。 二 ， 、 士 ‘ 、 巴 － ， 一 ‘ 一 、 一 ‘ 一 ‘ 犷，为应 力边界 上给定的 表面 力 ， 为体积 。 为 了便 于选择速 度场 ， 可 以把 体积 不可压缩条件 ， 利 用 乘 子法 ， 引入泛 函 式 中 ， 并考虑 到 式和 式 ， 则 泛函变为 户 ， 二 、 女 ， 少 亿 一 气 ‘ ， “ ‘ ， 入 ‘ ，各‘ ， 一 ，‘ ‘ 一 一 、 ， 一 一 其中 ， 入为 乘子 ， 各门 为 。 。 记号 。 所有满足 ‘ 和 后 ， ，之 间的 几何关系和 速度边 界条件的速度场 中 ， 能使泛 函 式 取 最 小 值的速 度 ‘ 是正确解 ， 这就是刚塑性 不 完全 广义 变分原理 以后 简称为刚 塑性广义 变分原理 。 为 了获得有 限单元法的 最终矩 阵方程 ， 首先将刚塑性广义 变分原理的泛 函用 矩 阵表示 ， 歹了万百‘ 二 了 ‘ “ ‘ 一 了 · ‘ 其 中 ， 、 分别为应 变速 率列阵和 速度列阵， 为物 体表面 上给定的外力列 阵， 为矩 阵记号 ， 它满足体积 不可压缩 条件 。 二 。 ， 对平面应 变问题 ， ， 矩 阵 右 下角 的 表示矩 阵转置 。 关于有 限 单元法 离散化和非线性矩 阵方程 的线性化步骤 ， 在文献 ’ “ 】 中已有详细推导 。 最终可 以得到矩 阵方程 「一 〕 〔 △ 〕 〔 一 〕 其 中 ， 〔 。 一 〕 和 。 一 〕分 别 为整体 刚度 矩 阵和 等效载荷列 阵 ， 它们 是 由第 一 次迭 代 的 速 度场解 卜 计算到到的 。 式 则 是 关于△ 和 入 。 的线 性 方程组 。 给定运 动许可速 度场