D0I:10.13374/j.issnl001-053x.1983.02.033 北京钢铁学院学报 1983年第2 轧制问题的有限单元法解 力学教研室钱仁根周宝昆，乔端 摘 要 本文在平面应变条件下，假设轧件为应变硬化的刚塑性体，轧辊为不变形的刚 体，轧辊与轧件之间的接触摩擦条件为粘着，即轧辊与轧件之间无相对滑动。用刚 塑性有限单元法计算了平板轧制过程的单位压力，金属流动速废和应变、应力分布 等，并对接触弧长、刚塑性交界面、前滑系数和中性角等的确定提出新的看法。 有限单元法计算程序是以刚塑性广义变分原理为基础，采用八节点曲边四边形 等参单元。根据在四辊轧机上轧制铝板的实测数据，对计算结果进行验证。 摘 要 平板轧制问题力能参数的计算方法有切片法(Karman),一般解析法(HiI1),近 似能量法(Sieble),下、上限解法(Green),滑移线场解法(Alexander,.Fribank), 以及近几年发展起来的有限单元法（玉野敏隆，Ra0,森等）。多数的解法由于采用了一些 简化的假设，虽然在一定条件下与实验结果比较符合，但是对轧制过程金属流动的规律，塑 性变形区中应变、应力分布规律，以及刚塑性交界面等问题都难于得到令人满意的结果。 有限单元法是一种数值计算方法【！。自山田嘉昭等人【]提出了弹塑性应力一应变矩阵 的显式表达式后，弹塑性问题的有限单元法得到较大的进展。但最初，它只是求解简单的弹 塑性问题【9·」，后来才用来分析金属塑性加工过程，如锻压，挤压，拉拔，轧制等。 1973年小林史郎等人提出刚塑性问题有限单元法【s],进一步推进了用有限单元法研究塑性 加工过程。由于用有限单元法可以得到其他分析方法不易得到的一些结论，所以，虽说其 历史较短，但已显示出它的优越性，并日益受到人们的重视。关于这方面的研究工作，国外 已发表了不少论文[-]，读者可以在北美金属加工会议(NAMRC)和日本塑性加工连讲 会等专业会议论文集中看到。在国内的研究则还是刚开始【一1】。因轧制过程边界条件复 杂，所以用有限单元法研究轧制问题比较困难。玉野敏隆1！，Rao等【1s),Zienkiew- cz1]和森谦一郎等【17引在这方面都作了有益的工作。 本文假设轧件处于平面应变条件下，并为应变硬化的刚塑性体，轧辊与轧件之间为粘 着，即轧辊与轧件之间无相对滑动。用刚塑性问题的有限单元法计算了平板轧制过程的单位 压力，金属流动速度和应变，应力分布等，并对接触弧长，刚塑性交界面，前滑系数和中性 角等的确定提出新的看法。根据实测数据，对计算结果进行了验证。 本文的计算程序是以刚塑性变分原理为基础，采用八节点曲边四边形等参单元。这种单 元具有刘分单元方便，输入数据少等优点。 137
北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 轧制问题的有限单元法解 力 学教研 室 锐仁根 周 宝眼 乔 端 摘 要 本文在平 面 应 变条件下 ， 假设 轧件为应 变硬化 的刚塑性体 ， 轧辊为不 变形 的刚 体 ， 轧辊与轧件之 间 的接触摩擦条件为粘着 ， 即 轧辊与轧件之 间无 相对 滑动 。 用 刚 塑 性有 限单元 法 计算了平板 轧制过程 的单位压 力 ， 金 属流动速度和应 变 、 应力分布 等 ， 并对接触弧 长 、 刚塑性交界面 、 前 滑系数和 中性角等的确定 提 出新 的看 法 。 有 限单元 法 计算程序是 以 刚塑性广义 变分原理 为墓础 ， 采用 八 节点曲边 四 边 形 等参单元 。 根 据在 四 辊 轧机上 轧制铝板 的实测数 据 ， 对 计算结果进行验证 。 摘 共 平板轧制问 题 力能参数 的计 算方法 有切片法 ， 一般解析法 ， 近 似能量法 ， 下 、 上限解法 ， 滑 移线场解法 ， ， 以 及近几 年发展 起来的有 限单元法 玉野 敏隆 ， 。 ， 森 等 。 多数 的解法 由于采 用 了一些 简化的 假设 ， 虽然 在一定 条件下与实验结果 比较符合 ， 但是 对轧制过程 金属 流动的规律 ， 塑 性变形区 中应 变 、 应 力分布规律 ， 以 及刚塑性 交 界面 等问题都难 于得 到令人 满意的结果 。 有 限单元法 是 一种数值计 算方法 〔 ‘ 】 。 自山 田 嘉 昭 等人 】 提 出 了弹塑性应 力一应 变矩 阵 的显式 表达 式后 ， 弹塑性问 题 的有 限单元法 得 到较大的进 展 。 但最初 ， 它只是求解简单的弹 塑性问 题 ， ’ ‘ ， 后来 才用 来 分 析 金 属 塑性 加工 过 程 ， 如 锻压 ， 挤 压 ， 拉 拔 ， 轧 制等 。 年小林史 郎等人 提 出刚 塑 性 问题 有 限单元 法 〔 ” ， 进一步推进 了用 有 限单元法 研究塑性 加工 过程 。 由于用 有 限单元法 可 以得 到 其他分析方法 不 易 得 到 的 一些 结 论 ， 所 以 ， 虽 说其 历史较短 ， 但 巳显示 出它的优越性 ， 并 日益受 到人们 的重 视 。 关于这方面 的 研究工 作 ， 国外 已发表了不 少论文 〔卜 ， 读者可 以在北美金属加工 会议 和 日本塑性加工 连讲 会等专业会议 论文 集中看到 。 在 国 内 的研究则还是 刚开 始 卜 ’ 】 。 因轧制过 程边界条件复 杂 ， 所 以 用有 限 单元法 研究轧制问 题 比较 困难 。 玉野 敏隆 【 ’ 毛 ， 。 等 ‘ “ ， 一 ’ 和森谦一 郎等 ‘ 在这方面都作 了有益 的工 作 。 本文假设轧件 处于 平面应 变 条件下 ， 并为 应 变硬 化的刚塑性体 ， 轧辊与轧件之 间为粘 着 ， 即轧辊与 轧件之 间无 相对滑 动 。 用 刚 塑性问题 的有 限单元法计算了平板 轧制过 程 的 单位 压 力 ， 金属 流 动速度 和应 变 ， 应 力分布 等 ， 并对 接触弧长 ， 刚塑性 交 界面 ， 前滑系数 和 中性 角等的 确定提 出新 的看法 。 根据实测数据 ， 对计 算结果 进 行 了验证 。 本文的计 算程 序是 以 刚塑性变分原理 为基础 ， 采 用八节点 曲边四 边形 等参 单元 。 这种 单 元县有划分 单元 方便 ， 输 入数据少 等优点 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1983．02．033
二、基本理论 在金属塑性加工过程中，被加工物体弹性变形比起塑性变形要小得多，忽略弹性变形也 不会引起很大的误差，因而可以假设轧件为刚塑性材料。解决刚塑性问题必须满足基本方 程I1)。 根据最小位能原理，在所选择的运动许可的速度场ⅴ：中，能使泛函 ⑨=∫edv-∫sr下v:ds (1) 取最小值的Y:是问题的正确解。其中g为广义应力， 0=（11,) (2) 若采用Mises屈服条件，并设os,k分别为拉伸屈服点和剪切屈服点，则 o=0.=v 3 k, (3) e为广义应变速率， (4) 亚，为应力边界Sr上给定的表面力，v为体积。 为了便于选择速度场，可以把体积不可压缩条件，利用Lagrange乘子法，引入泛函式 (1)中，并考患到(3)式和(4)式，则泛函变为 ∮-∫7(n)声+∫.A8dv-∫ 亚：v;ds (5) ST 其中，入为Lagrange乘子，81为Kro necker记号。所有满足v:和et1之间的几何关系和 速度边界条件的速度场中，能使泛函式（5)取最小值的速度ⅴ：是正确解，这就是刚塑性 不完全广义变分原理（以后简称为刚塑性广义变分原理）。 为了获得有限单元法的最终矩阵方程，首先将刚塑性广义变分原理的泛函用矩阵表示， ∮=∫oedv+∫，A&cdv-∫，Tvds (6) 其中，、V分别为应变速率列阵和速度列阵；T为物体表面S上给定的外力列阵；C为矩 阵记号，它满足体积不可压缩条件eC=0,对平面应变何题CT=（110),矩阵右下角 的T表示矩阵转置。 关于有限单元法离散化和非线性矩阵方程的线性化步骤，在文献【：！中已有详细推导。 最终可以得到矩阵方程 [s].[8]-[R-:] (7) 其中，〔S。-1)和〔Ra-1)分别为整体刚度矩阵和等效载荷列阵，它们是由第n-1次迭代的速 度场解un-1计算到到的。(7)式则是关于△un和入n的线性方程组。给定运动许可速度场 138
二 、 基 本理 论 在金属塑性加工过 程 中 ， 被加工 物 体弹性 变形 比起塑性变形要小得多 ， 忽略弹性变形 也 不 会引起 很大 的误 差 ， 因 而可 以 假设轧件为刚 塑性材料 。 解决刚塑性问 题 必须满足 基本方 程 ’ 。 根据最小位 能原 理 ， 在所选 择 的运 动许可的速 度场 ‘ 中 ， 能使泛 函 歹 ‘ 了万百‘ 一 了厂 ‘ 一 取最小值的 ‘ 是问 题 的 正确解 。 其 中云 为广义应 力 ， 。 ‘ ，·‘ ， 专 一 百、、 、 一 一 若采 用 屈 服 条件 ， 并设 。 ， 分别为拉伸屈服 点和剪切屈服点 ， 则 二 亿 飞厂 ， 一 一 。 为广义 应 变速率 ， 二 。 二 ， 、 士 ‘ 、 巴 － ， 一 ‘ 一 、 一 ‘ 一 ‘ 犷，为应 力边界 上给定的 表面 力 ， 为体积 。 为 了便 于选择速 度场 ， 可 以把 体积 不可压缩条件 ， 利 用 乘 子法 ， 引入泛 函 式 中 ， 并考虑 到 式和 式 ， 则 泛函变为 户 ， 二 、 女 ， 少 亿 一 气 ‘ ， “ ‘ ， 入 ‘ ，各‘ ， 一 ，‘ ‘ 一 一 、 ， 一 一 其中 ， 入为 乘子 ， 各门 为 。 。 记号 。 所有满足 ‘ 和 后 ， ，之 间的 几何关系和 速度边 界条件的速度场 中 ， 能使泛 函 式 取 最 小 值的速 度 ‘ 是正确解 ， 这就是刚塑性 不 完全 广义 变分原理 以后 简称为刚 塑性广义 变分原理 。 为 了获得有 限单元法的 最终矩 阵方程 ， 首先将刚塑性广义 变分原理的泛 函用 矩 阵表示 ， 歹了万百‘ 二 了 ‘ “ ‘ 一 了 · ‘ 其 中 ， 、 分别为应 变速 率列阵和 速度列阵， 为物 体表面 上给定的外力列 阵， 为矩 阵记号 ， 它满足体积 不可压缩 条件 。 二 。 ， 对平面应 变问题 ， ， 矩 阵 右 下角 的 表示矩 阵转置 。 关于有 限 单元法 离散化和非线性矩 阵方程 的线性化步骤 ， 在文献 ’ “ 】 中已有详细推导 。 最终可 以得到矩 阵方程 「一 〕 〔 △ 〕 〔 一 〕 其 中 ， 〔 。 一 〕 和 。 一 〕分 别 为整体 刚度 矩 阵和 等效载荷列 阵 ， 它们 是 由第 一 次迭 代 的 速 度场解 卜 计算到到的 。 式 则 是 关于△ 和 入 。 的线 性 方程组 。 给定运 动许可速 度场
的初始值u,利用(7)式迭代让算，直到获到稳定的速度场。解的收歙尔件可按下式判定 I△uI/IuI<8 (8) 其中， :I△uI=V∑△u?,IuI=V∑u},8为-个 小的正数。 如文【1所述，取双二次插值函数，对八节点四边形等参单元可以在划分单元较大的情 况下，仍有足够的精度。 三、单位压力计算与实验结果比较 实验是在中110/中320×300mm四辊冷轧机上进行的1」。在工作辊上安装四组(8根) 倾斜测压针，测定轧制铝板时沿接触弧分布的单位压力。由压上螺丝处的压头测定总轧制 力。本文计算结果是与位于板宽中央附近一对测压针的实测数据进行比较。 工作辊是直径D=110mm,材料为GCr15,未经淬火的软面辊。轧辊转速是35r·p·m。 轧件材料为工业纯铝，通过单向拉伸试验可求得实验曲线及其回归方程【2]。 根据单一曲线假设，轧件的广义应力一广义应变关系为 0=3.2310+0.9048e06530 (9) 轧件宽为B=50mm,轧件原始厚度H=2.90mm,本文计算了压下率分别为13.07%、 20.77%、29.79%三种情形。 单元的划分如图1所示。由于下上对称，只取下半部进行计算。考虑到在靠近轧辊表面 的速度有较为剧烈的变化，因此，沿Y方向上、下分为高度比为1·2的二层单元，即靠近 轧辊的一层较为扁平一些。在入口和出口截面两外侧的单元，其X方向长度为接触弧长L的 一半。由计算实践可知，在被划分单元的区域以外的范围，金属接近刚性运动。 H/2 图1。单元划分 图2()、(b)、(c)为轧件原始厚度不变，改变压下率时，用有限单元法计算的单位压 力分布与实验【2！结果的比较。表1则是计算得到的平均单位压力”和总轧制力P与实验值 的比较。 表1 有限单元法计算结果与实测值比较 板 轧前 轧后 压下 接触弧长 平均单位压力 径 厚度 厚度 率e L(单m) p(kg/mm 2) 总轧制力P(T) B 6 (mm)(mm)(mm)(mm)(% 计算实测计算 实测 计算 实测 误差 110 50 2.87 2.49513.07 4.5625.3012.95 9.77 2.954 2.59 12% 110 50 2.84 2.25 20.775.7226.94 15.629.80 4.468 3.40 24% 110 50 2.922.05 29.796.9358.46 19.6315.60 6.806 6.60 3% 139
的 初始值 。 ， 利用 式迭 代计 算 ， 朋△ 直 到获到稳定 的速 度场 。 乙 训 名 △ 了 解的 收款条件可 按下 式判 定 其 中 ， 皿△ 小的 正数 。 如文 ‘ ” 所述 ， 取双 二 次插值 函数 ， 况 下 ， 仍有 足够 的精度 召 公 矛 ， 乙 为一个 “朋 声 对八 节点四 边形 等参单元可 以 在划 分 单元 较大 的情 三 、 单位 压 力计算 与实验 结果 比较 实验是 在 中 小 幻。 四 辊冷轧机 上进 行的 ‘ ’ 。 在工 作辊上安装 四组 根 倾斜测压针 ， 测 定 轧 制 铝 板 时沿接触弧分布的 单位压力 。 由压 上螺丝处的压 头测定总轧制 力 。 本 文计 算结果 是 与 ， 位于板宽中央 附近 一对测压针的实测数据 进 行 比较 。 工 作辊是直径 ， 材料为 ， 未经 淬火 的软面 辊 。 轧辊转 速是 · ， 。 轧 件材料为工 业纯 铝 ， 通过 单向拉伸试验可求得实验 曲线 及其 回归方程 〔 ” 。 根 据 单一 曲线假设 ， 轧件的广义应 力一广义 应 变关系 为 于 百 · “ “ “ 轧 件宽为 ， 轧件原 始厚度 二 ， 本文计 算了压 下 率 分 别 为 、 、 三种 情形 。 单元 的 划 分如 图 所示 。 由于下 上对称 ， 只取 下半部进 行计 算 。 考虑 到在靠近 轧 辊表面 的速度有较为剧 烈 的变 化 ， 因此 ， 沿 方向上 、 下分为高度比为 的二层 单元 ， 即靠近 轧辊的 一层 较为扁平 一些 。 在 入 口 和 出 日截面 两外 侧的 单元 ， 其 方 向长 度为接 触 弧 长 的 一半 。 由计 算实践可 知 ， 在被划分单元 的 区域 以外 的范 围 ， 金属接近 刚性运 动 。 ‘ ’ 卜 协 图 、 力分布 与实验 的比较 。 厅 表 图 单元 划分 、 为轧件原始厚度不 变 ， 改 变压下 率 时 ， 用有限 单元 法计 算的单 位压 “ ‘ 结果 的 比较 。 丧 则是计 算得到 的 平 均单 位压 力， 和 总轧 制 力 与实验值 有 限单元法计 算结果 与实测值 比较 径 轧后 厚度 压 下 率 。 总轧制力 ‘ 吸一‘ ﹄备 … 板宽 辑凰前度 接触弧长 平均单位压 力 生粤粤 ， 巫且边塑虹 计算 实测 计算 …实 测 实，。 误 差 月城︸了一 行八内才 勺﹄ 计 算 户卜 ︸﹄ 、
p(kg/mm) p(kg/mm) H=2.87mm Hs2.84m血 h=2.495mm 20 h=2.25mm 20 c=13.07% g=20.77% 0 10 计算曲线 计算曲线 一●一实测曲线 一。一一实测曲线 87 5 98 4 L(mm) L(mm) (a) (b) 单位压力分布曲线，除了入口截 p(kg/mm+) 30 面附近以外，其他地方一般与实验结 H=2.92mm h=2.05mm 果符合程度尚好。至于入口截面附近 t=29.79% 的压力分布现象，在其他文献【22·2！ 和森谦一郎最近的工作2」中，也有 同样的结果。 计算得到的单位压力高于实验 值，其原因是两方面的。一是实验本 20 身的误差，二是计算时按照粘着摩擦 条件，导致单位压力偏高。由于实测 的接触弧长与计算值之差较大，因而 平均单位压力p较之总轧制力P有更 大的误差。 在轧制问题的分析方法中，通常 10 总是人为地规定塑性变形区。但是用 有限单元法进行分析计算时可以避免 这种不真实的假设。用有限单元法计 计算曲线， 算时，把轧件入口截面后和出口截面 实测曲线： 前取一定的长度。由计算得知，考虑了 入口和出口截面两外侧区域，增加了 单元的数目，因而增加了计算时间， 109 654321 但能较真实反映轧制过程的应力、应 1(mm) (c) 140 图2单位压力分布
盆 之 ‘ 》 二 五二 七 二 留 也 口 卜 ‘ 二 盯 ‘ 一 计算曲线 － 。 －实测曲线 一 ‘一 计算曲线 一 一 实侧曲跳 口 单位 压 力分布 曲线 ， 除 了入 口 截 面 附近 以外 ， 其 他地 方一般 与实验结 果 符 合程 度尚好 。 至 于 入 口 截面 附近 的压力分布现象 ， 在 其他文献 【 ‘ “ 和 森谦一 郎最近 的 工 作 ‘ 中 ， 也有 同样的结 果 。 计 算得到 的单 位 压 力 高于实验 值 ， 其原 因是 两 方面 的 。 一是实验 本 身的误 差 ， 二 是计 算时按照粘 着摩擦 条件 ， 导 致单位压 力偏高 。 由于实测 的接触 弧长 与计 算值之 差较大 ， 因而 平均单位压 力乡较 之 总 轧制 力 有更 大的误 差 。 在轧制问 题 的分析方法 中 ， 通 常 总是人为地 规定塑性变形 区 。 但是用 有 限单元法 进 行分析计 算时可 以避免 这种不真实的假设 。 用有限单元法计 算时 ， 把轧件 入 口 截面 后 和出 口 截面 前取一定 的长度 。 由计算得知 ， 考虑 了 入 口 和 出 口 截面 两外侧区域 ， 增加 了 单元 的 数 目 ， 因而增加 了计 算时间 ， 但 能较 真 实反 映轧 制过程 的应 力 、 应 二 。 二 石 ‘ 二 您 万 ， 计算曲舰 实橄曲线 图 单位压 力分布
变状态。如果只考虑入口和出口截面之问的区域，则与真实状态有较大的误差。本文对这两 种区域划分都作过计算，计算结果如炎2所示。 表2 两种区域计算轧制力比较 辊 板 轧前 轧后 总轧制力P(T) 厚度 厚度 D 不考虑 考 虑 mm)(mm) mm) (mm) 外侧区域 外侧区域 误差 110 50 2.87 2.495 2.298 2.954 22.2% 110 50 2.84 2.250 3.580 4.468 19.9% 根据本文计算结果， 取两外侧区域长度为L/2时，两端面已经十分接近为刚体运动，因 ·此计算结果较好。 四、其他计算结果和讨论 用有限单元法计算轧制问题，除了能求得单位压力外，还能求得诸如轧件各点的流动速 度，应变、应力分布等结果。根据速度场和应变等值线可以确定刚塑性交界面，前滑系数等 以及对接触弧长问题提出新的看法。· 1.速度分布 通过计算可以得到轧件内各点的速度分布。图3(a)为轧件原始厚度H=2.84mm,轧 后厚度h=2.25mm时速度分布图。图中表示速度矢量的箭头在Y方向被放大了，图3(h) 为与X轴垂直的11个截面上速度分量ⅴx沿轧件厚度上的分布。图3(b)中横座标轴表示速 度vx(m/sec),纵座标轴表示轧件厚度方向。 Y轴 0.2m/Sec 2 3-34-45.-56-67-78-89-91-1011=11 X轴 0.25 色 0.20 0.15 010 0.05 X轴 图3(a)轧件各点速度 141
变状态 。 如 果 只 考虑 入 口 和 出 「截面 之 间的 区域 ， 则 与真实状态 有较大 的误 差 。 卞文 对这两 种 区域 划 分都 作过计 算 ， 计 算结果 如 丧 所 示 。 表 两 种 区域计 算轧 制 力比较 轧厚后度 总轧 制 力 虑 区 域 误 差 径辊 板宽 辐凰前度 ︸︹︸ 匀口产 ” 根据 本文计 算结果 ， 取 两外 侧 区域 长 度为 时 ， 两 端而 已经 十分 接近 为刚体运 动 ， 因 一 此计算结 果较好 。 四 、 其 他 计算结果 和 讨论 用有 限单元法计 算轧 制问 题 ， 除 了能求得 单位压 力外 ， 还能求得诸如 轧件各点的 流动速 度 ， 应 变 、 应 力分布 等结果 。 根据 速 度场和应 变 等值线可 以 确定 刚塑性 交 界面 ， 前滑系数等 以 及对接触弧长问 题 提 出新的 看法 。 速度分布 通过计 算可 以得到轧件内各点的速度分布 。 图 为轧件原始厚度 ， 轧 后 厚度 时速度分布图 。 图 中表示速度矢量 的 箭头 在 方 向被 放大 了 ， 图 为与 轴垂直 的 个截面 上 速 度 分 量 二 沿轧件厚度 上的 分布 。 图 中横座 标 轴 表示速 度 ， 纵座标 轴 表示轧件厚度方 向 。 “ 、 、 ‘ ，轴 一 一 二 曦一 一 一 · 了 一 一 一 ， 轴 弓 么组 址绝 ， 城的功拐、月目口 抽 图 乳件各 点速度
1.42 0.16 0.15 0.20 0.15 020 2-2 3 0.15 ,0:20 5-5 133 0.15 0.20 0.15 020 9-9 1.123 i25 5 0.20 0.15 0.20 10-10 11-11 图3(b)各裁面上V,沿厚度分布 图3()清楚地表明在入口后与出口前轧件有向轧辊方向流动的趋势。应当指出，现有 轧制接触弧长的计算公式都不十分适用，与实测的接触弧长值相比都是偏小。Hitchcock公 式虽然考虑了轧辊的弹性压扁，但是没有考虑轧件的弹性恢复，所以它与刚性轧辊计算的接 触弧长相比，通常只增加1%左右。Bland--Ford公式加上了轧件的弹性恢复部分，使计 算的总弧长可增加4~5%，但是仍低于实测值。通过有限单元法计算可以看出，实测接触弧 长值偏大的原因可以考虑为在轧件入口的后方和出口的前方有向轧辊方向流动的趋势，从而 使部分轧件与轧辊相贴附，形成一段“接触弧”这一因素。定量计算这一因素，对确定轧制 接触弧长将是很有意义的。 图3(b)表明在与X轴垂直的各个截面上，速度分量ⅴx沿轧件厚度上的分布肯定不是 均匀的，而是高度Y的函数。因而秒流量相等的表达式应当是 ∫iav,y)iy=oast CDx/2 (10) 其中，hx为任一截面处的厚度。同时，图3(b)表明，截面6-6和裁面7-7之间存在一个界 面，其上各点相对无滑动地随着轧辊表面某点运动。轧件在这个界面靠入口一侧为后滑区， 靠出口一侧为前滑区。这个界面可以认为是中性面。（注意，这个界面一般应是一个曲面， 不是通常认为的平面)。该面与轧辊相交的点即为中性点。 142
厂 心﹄︸幻 几的甘 、 一 一与 一 【 ， 。 图 各 截面 上 沿厚 度分布 图 清楚地 表 明在 入 口 后 与出 口 前轧 件有向轧辊方 向 流动的趋势 。 应 当指 出 ， 现有 轧 制接触 弧 长的计 算公式都 不十分适 用 ， 与实测的 接触 弧 长值 相比都是偏小 。 。 。 公 式 虽然 考虑 了轧辊的弹性压 扁 ， 但是没 有考虑轧件的弹性恢 复 ， 所 以 它与刚性 轧辊计算的接 触弧长相 比 ， 通 常只 增加 左右 。 一 公式加 上 了轧件的 弹性 恢 复部分 ， 使计 算的 总弧 长可 增加 ， 但是仍低 于实测值 。 通过有 限单元法 计算可 以看 出 ， 实测接触 弧 长值偏 大 的 原 因可 以 考虑为 在轧件入 口 的 后 方 和 出 口 的 前方有 向 轧辊方 向流 动的趋 势 ， 从而 使部分 轧件与 轧辊相贴 附 ， 形成一段 “ 接触 弧 ” 这一因素 。 定量计算这一 因素 ， 对确定 轧 制 接触 弧 长将是很有意义 的 。 图 表明 在与 轴垂直 的 各个 截面 上 ， 速 度分量 沿轧 件厚度 上的 分布肯定 不 是 均匀的 ， 而是高 度 的 函数 。 因 而秒 流量 相 等 的 表达式应 当是 如 其 中 ， 为任 一截面 处的厚度 。 同时 ， 图 表 明 ， 截面 一 和截面 一 之 间存 在一个 界 面 ， 其 上各点相对 无滑 动地 随着 轧辊表面 某 点运 动 。 轧件在这个 界面 靠入 口 一侧为后 滑区 ， 靠出 口 一侧 为前清区 。 这个 界面可 以认 为是 中性面 。 注 意 ， 这个 界面 一般应 是一个 曲面 ， 不是 通 常认 为 的 平面 。 该面 与轧辊相 交 的 点 即为 中性 点
2.应变、应力分布 图4(a)、(b)为轧件原始厚度H=2.84mm,轧后草度h=2.25mm时应变分布 图。 0.05 0,0020.01 3.02 X 0.0020.010.030.030.020.01 0.002 图4(a)广义应变速率等值线 0.25 0.20 0.01 0.100.15 图4(b)广义应变等值线 图4()为在轧制过程中一个时间步长内广义应变速率等值线。它可以勾画出刚塑性 交界面的形状与位置。由有限单元法可以计算得到每个单元内各点处（本文取各个高斯积分 点)的广义应变速率e的值。现定义：小于0.002的区域为刚性区，而大于0.002的区域为塑 性区。交界面的形状与位置如图4()中的粗线所示，阴影部份为刚性区。它与滑移场解在 定性上十分一致。若将界于入口与出口截面间的部份，称为通常所取的塑性变形区，那么用 有限单元法计算所得塑性区比它大的多，同时在它之中仍存在刚性区。 另外，由于塑性应变历史累积结果，在轧件出口外侧的区域仍然保留残余应变。这部 份区域中的残余应变远远大于弹性应变量级。称出口截面外的区域为刚性区是指它在轧制过 程中近乎刚体运动而设有较大的应变速率，而不意味它的总应变很小。塑性应变历史累积的 结果如图4(b)所示。图5为对应图4(b)的广义应力。等值线。 10.0. g.5 8.0 3.5 6.0 7.5 图5广义应力等值线(kg/mm2) 3。前滑系敦 按照前滑系数的定义 5h=Vh-v =_Yh.I (11) 143
应 变 、 应 力分 布 图 、 为 轧件原 始厚 度 七 妇 轧 后 厚 度 日寸应 变 分 布 图 。 并琢 图 广义 应 变速率等值 线 图 广义 应 变等值 线 图 为在轧制 过程 中一个 时间步 民内广义 应 变 速率 等值线 。 它可 以 勾画 出刚塑性 交界面 的形状 与位置 。 由有限单元法可 以计 算得 到每个单元 内各点处 本 文取 各个 高斯积 分 点 的广义应 变速 率 的 值 。 现定义 。 小 于 自勺区 域为刚性 区 ， 而大于 的 区 域为塑 性区 。 交界面 的形 状 与位置如图 中的 粗线所示 ， 阴 影部 份 为 刚性 区 。 它与滑移场解在 定性 上十分一致 。 若 将界 于入 口 与 出 口 截面 间的部份 ， 称 为通 常所取 的 塑性 变形 区 ， 那 么用 有 限单元法 计 算所得 塑性 区 比 它大 的 多 ， 同 时 在 它之 中仍存在刚性 区 。 另外 ， 由于塑 性应 变历 史累 积 结果 ， 在 轧件 出 口 外 侧 的 区 域仍然保 留残 余应 变 。 这部 份 区域 中的 残余应 变远远大于弹性应 变量级 。 称 出 口 截面外 的 区 域 为 刚性 区是 指 它在轧制过 程 中近乎刚体运 动 而没有较大 的应 变速 率 ， 而 不意味 它 的总应 变很 小 。 塑性应 变历史累 积 的 结果如 图 所 示 。 图 为 对 应 图 的 广 义 应 力万 等 值线 。 一 工 一 图 前滑系狱 按照 前滑系数的 定义 广 义应 力等值 线 一
其中，vn为轧件出口速度，v为轧辊圆周速度，sn为前滑系数。式(11)发明sn是由轧件出 口速度与轧辊园周速度唯一确定的。现在通过计算}到的速度场可直接计算前滑系数。应当 指出，这里vn指的是截面11-11的速度，它是轧件流出轧辊的速度。有了前滑系数可以利用 S,Ekelund前滑公式(12)计算中性角Y, sh=Y2/2·(D/h-1) (12) 实验测得轧制时摩擦系数f=0.25,(它与粘着时的摩擦系数略有出入)，根据公式， Y=a/2·(1-a/2f) (13) 也可以计算中性角Y。其中α为咬入角。用有限单元法直接计算得到速度场，求得前滑系数， 再用(12)式反算中性角，与由实验测得摩擦系数，用(13)式计算中性角，把它们的结果列 于表3中。 表3 前滑系数与中性角 辊 轧前 轧后 前滑 中性角Y(弧度) 厚度 厚度 系数 h Sh mm) mm) (日m) 按(22)式计算 按(23)式计算 110 2.87 2.495 0.0300 0.0373 0.0344 110 2.84 2.25 0.0474 0.0445 0.0410 110 2.92 2.05 0.0700 0.0516 0.0471 五、结 论 1.用刚塑性有限单元法可以计算沿接触弧单位压力分布，除去轧件入口截面附近以 外，其余部份与实验结果符合程度尚好，总轧制压力符合程度较好。 2.计算结果表明，如果只取轧件入口与出口截面之间的区域（或更小范围）为塑性变 形区，虽然单位压力分布规律变化不大，但其数值结果与实际情况存在着较大差异。 3。用刚塑性有限单元法可以求得轧件内各点流动速度。计算结果表明，速度分布是比 较复杂的。在计算轧件与轧辊的接触弧长时，可以考虑到由于金属在入口后和出口前有流向 轧辊，使部分金属贴附于轧辊形成一段“接触弧”的情况。 4,根据计算得到的应变分布可以勾画出刚塑性交界面的形状与位置。计算所得塑性变 形区比通常所取塑性区大的多，并且在通常的塑性区中仍存在刚性区。 5.前滑系数可以由计算得到的速度场直接确定，这样可以避免利用中间参数计算带来 的误差。 6。本文计算原理同样适用于有宽展的三维流动情况和有前、后张力的情况。轧件和轧 辊之间的其他摩擦条件下的计算，可以在现有计算程序基础上作某些修改进行。 144
其 中 ， 。 为轧件出 口 速 度 ， 为 轧辊圆周 速 度 ， 。 为前滑系数 。 式 表明 。 是 由轧件出 口 速度与轧辊 园周 速 度唯一确定 的 。 现 在通过计 算得 到的速度场可 直 接计 算前滑 系数 。 应 当 指 出 ， 这 里 。 指 的是截面 一 的速 度 ， 它是 轧件 流出轧辊 的速度 。 有 了前滑 系数可 以 利 用 前滑公 式 计算中性 角丫 ， 、 丫 · 一 实验测得 轧制 时摩擦系数 ， 它与粘着 时的 摩擦 系数略有出入 ， 根据 公式 ， 一 也可 以计 算中性角丫 。 其 中 为咬入角 。 用有 限单元法 直 接计算得到速度场 ， 求得前滑系数 ， 再用 式反算中性角 ， 与由实验测得摩擦系数 ， 用 式计算中性角 ， 把 它们的结果列 于 表 中 。 表 前滑系数与 中性角 轧前 厚度 轧后 厚度 前滑 系数 辊径 中 性 角 弧 度 日 按 式计算 按 式计算 弓且二，占 口，工︸且八”︸︸ 五 、 结 论 用 刚塑 性 有限 单元 法可 以计算沿接触弧单位压 力分布 ， 除去轧件入 口 截面 附近 以 外 ， 其余部份 与实验结果符合程度尚好 ， 总 轧制压力符 合程度较好 。 计算结果 表明 ， 如果只取 轧件入 口 与 出 口 截面 之 间的 区域 或更小范围 为塑性变 形区 ， 虽然单位压 力分布规律变 化不大 ， 但其数值结果 与实际情况 存在着较大差 异 。 用刚塑性有 限单元法可 以求得轧件 内各点流 动速度 。 计 算结 果 表明 ， 速 度分布是 比 较复杂的 。 在计算轧件与轧辊的接触弧长 时 ， 可 以 考虑到 由于 金属 在入 口 后 和 出口 前有 流 向 轧辊 ， 使部分金属 贴附于 轧辊形成一段 “ 接触弧 ” 的 情况 。 根据计 算得到的应 变分布可 以勾画 出刚塑性 交界面 的形状 与位置 。 计 算所 得塑性 变 形 区 比通常所取 塑性 区大的 多 ， 并且在通 常的塑性 区 中仍存在 刚性 区 。 前滑系数可 以由计算得 到的速 度场直接确定 ， 这 样可 以 避免利用 中间参数计 算带来 的误 差 。 本文计 算原 理 同样适 用于有宽展 的三 维 流动情况 和有前 、 后 张 力的情 况 。 轧件和 轧 辊之 间的 其他摩擦 条件下的计 算 ， 可 以 在现有计 算程 序基础 上作某些修改 进 行
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The Solution of The Finite Element Method on Rolling Problems Qian Rengen,Zhou Baokun,Qiao Duan, Abstract On the condition of plane strain it is assumed that the workpiece is a rigid-plastic material with strain hardening,the roller is a rigid- body,the frictional condition of the contact surface between the roller and the workpiece is no slip i.e.no relative slide bet ween them.We have used the rigid-plastic finite element method to calculate the pressure per unite area,the velocity of metal flow and the stress-strain distribu- tion,etc;and suggested New view on determining the Length of defor- med arc,the rigid-plastic boundaries,the coefficient of front slide and the neutral angle. The computer programme of the finite element method is based on the general rigid-plastic variational principles.The 8-nodal curved quad- rilateral iso parametric element is introduced.The results of the calculat- ion have been compared with the experimental data of aluminium plate rolled on the 4-high mill. 146
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