用有限单元法分析轧辊的变形和应力

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1982.01.016 北京钢铁学院学报 1982年第1期 用有限单元法分析轧辊的变形和应力 力学教研室冯钩一 摘 要 本文用轴对称结构受非轴对称载荷的有限单元法分析轧辊的变形和应力，编制 了相应的计算程序，用算例和解析解作了比较，讨论了接触弧很小时对收觖速度的 影响。为计算板材轧机轧辊的变形和应力提供一种可供实用的计算方法。 一、概述 轧辊是轧钢机的主要零件，轧辊的变形和应力对轧辊的结构设计和轧钢生产工艺有很大 的影响。现在对轧辊的变形和应力计算基本上是以梁的概念为基础的。STone【】把四辊轧 机的工作辊作为弹性基础上的梁来计算变形，对一些轧辊如四辊轧机工作辊的直径d和辊长 1之比d/1=1:3~5,对支承辊d/1=1:2~3,在这种情况下运用梁的理论分析轧辊的变形和 应力就欠准确了。渡边1)把冷轧机工作辊作为平面应变来处理，分析工作辊的应力，显然 这样的分析没有考虑到弯曲的影响。近年来已有学者用有限元法分析轧辊问题。有村「5]对 轧辊作了三维的应力分析，显然限于带宽太大在周向只分了五个单元，径向分了四个单元， 这样的结果当然是十分粗糙的，即使这样也要使用较大的计算机才能完成，计算费用相当高。 本文用有限单元法来计算轧辊的应力和变 形。根据轧辊的结构和受力情况，作为一个轴 对称结构，受非轴对称载荷的问题来处理，讨 论了接触弧很小时解的收敛速度问题。并把此 方法编制成计算程序，在中型计算机上实现， 为计算轧辊的变形和应力提供一种实用的计算 方法。 对称 二、盖本遍论 对轧辊来说通常具有轴对称的几何形状 (图1)，而所受的载荷包括轧制压力，支撑力，反 弯力，摩擦力为非轴对称的，因而轧辊可以 归结为轴对称结构受非轴对称载荷的问题。 有限单元的基本方程为 A-A B一B 〔K){8}={F} (1) 图1 ”:轧辊还受到扭矩的作用，共应力和变形很容易计算出来，可迭加于上述各载荷作用的结果 184

北 京 俐 铁 学 院 学 报 年第 期 用有限单元法分析轧辊的变形和应力 力学教研 室 冯 钧 一 要 本文 用 轴对称结构 受非轴对称载荷的有限单元 法分 析轧辊 的变形和 应 力， 编 制 了相 应 的计 算程序， 用 算例和 解析解作 了比较， 讨 论 了接触弧很 小 时对 收橄 速度 的 影 响 。 为计 算板 材轧机轧辊 的变形 和 应力提供 一 种 可供 实用 的计 算方法 。 一 、 概述 轧 辊是轧 钢 机的主 要零 件 ， 轧辊 的 变形和应力对轧辊 的结 构设计 和轧钢生产工 艺有很大 的影 响 。 现在 对轧辊 的 变形 和应 力 计算 基本 上是 以 梁的概念为基础 的 。 ’ 把 四 辊轧 机的 工作辊 作为弹性 基 础 上的 梁来计算变形 ， 对 一些 轧辊如 四 辊轧机 工作辊 的直径 和辊长 之 比 ， 对 支承辊 一 ， 在这种情 况下运 用 梁的理 论分析轧辊 的变形和 应 力就 欠准确 了 。 渡边 ’ 把冷轧机 工作辊 作为平面应 变来处理 ， 分析工作辊 的应 力 ， 显然 这样的 分析没有考虑 到弯 曲的影 响 。 近 年来 已有学者用 有限元 法分析轧辊 问题 。 有村 ” 对 轧辊 作 了三 维 的应 力 分析 ， 显然 限于带宽太大在周 向只 分 了五个单元 ， 径 向分 了四个单元 ， 这样 的 结果 当然 是十 分 粗 糙的 ， 即使 这样 也 要使 用 较大的 计算机才能完 成 ， 计算费用 相 当高 。 本文用 有 限单元 法来计算轧辊 的应 力和 变 形 。 根据 轧辊 的结构 和 受力情况 ， 作为一个轴 对 称结构 ， 受 非轴对称 载荷 的 问题 来处理 ， 讨 论 了接触 弧很小时解的 收敛速 度问题 。 并 把 此 方 法编制成 计算程 序 ， 在 中型计算机 上实现 ， 为计算轧辊 的 变形和应 力提供一种 实用 的计算 方法 。 二 、 若本理论 对轧辊 来说 通 常具 有 轴对 称的 几何 形状 图 ， 而所 受 的 载荷 包括轧 制压力 ， 支撑力 ，反 弯 力 ， 摩擦 力 铸 为非轴对 称 的 ， 因而轧 辊可 以 归 结 为轴对 称结 构受非轴对 称 载荷 的 问题 。 有 限单元 的 基本方程 为 〔 〕 乙 人一人 一 图 扎棍还 受 到扭矩 的作用 ， 共应 力和 变形很 容 易计算 出来 ， 可迭加 于上 述 各载荷作用 的结果 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．01．016

{8},{F},〔K)分别为结构的位移列阵，负荷列阵和刚度矩阵。 若使用圆柱坐标，轧辊 内位移和应力是z,9,Y的函 数，考虑到轧辊上的负荷 呈对称和反对称分布，即载 (a) 荷的径向分量í，对称于接触 弧中心，周向分量f。(摩擦 力)反对称于接触弧中心， 轴向分量f.一般为0。（实 际上轧件对轧辊的压力和摩 擦力如图2中(b)和(c) b 分布在接触弧ab上，弧的中 心点c和中性点d并不重合 但相差不大，其余的载荷都 完全符合上述条件)，可以 把位移，应力，应变和载荷 分别按奇函数和偶数函数展 成富氏级数。即 ☒2 2… Uncos n {8}=V 三Vnei如a (2) f.正个 W .00 0 e0e ca.con a=0 z t..cosn0 {e}= n=0 (3) ” Y: Yezn ginn 》平 a=0 ” Yzrnco8 n0 n=0 Yrenainne 185

各 ， 卜 ， 〔 〕分别为结构的位移列阵 ， 若使用 画柱坐标 ， 轧辊 内位 移和应 力是 ， ， 丫的 函 数 ， 考虑到 轧 辊 上的 负荷 呈对 称 和反对称 分布 ， 即 载 荷 的径 向分 量 对 称于 接触 弧 中心 ， 周 向分 量 摩擦 力 反对称于 接触弧 中心 ， 轴向分里 一般为。 。 实 际上轧件对轧辊 的压力和 摩 擦力如图 中 和 分布在 接触弧 上 ， 弧 的 中 心 点 和 中性点 并 不 重 合 但 相差 不大 ， 其余的 载荷 都 完 全符合 上述条件 ， 可以 把位移 ， 应 力 ， 应 变和 载荷 分别按奇 函数和偶 数 函数展 成 富 氏级 数 。 即 负荷 列 阵和 刚度矩阵 。 丰 十一 一 卞一 卜 ， 。 。 二 「 花个 产百、 各 乏 · 。 乏 · ” 艺 ” 几夕、产 一 艺 。 · “ ” 艺 。 一 ” 艺 二 ” 一 乏 丫 … ‘ 皿 一 乏 ， 。 “ 乏 丫 二 ‘ ” 了‘ … ﹄ 名 丫 …

o rn cos n 0=0 00 ∑.co9 a- G: ∑0：cosa0 {a}= 5= (4) teznsinne n=0 T z r n cosn0 n=0 Σ T:nin n f iUoa0 a-0 {f}= ，ina9 (5) 4-0 ∑f,cosn9 这里a,wn,f,n,「gn,f2n,c,n…,0:n…都只是r和z的函效，和9无关，这 样，一个三维问题可看成由个二维问题迭加而成，如果用一般的三雏有限元来计算轧辊， 因为轧辊在三个方向上的尺寸属同一量级，势必造成结点很多，刚度矩阵的带宽很大，需要 大型计算机才能胜任，而且计算时间长，费用高，现在变为个二维问题来计算，用中型计 算机就可完成，费用也约缩到可以接受的范围内。 对板材轧机的轧辊，辊身和辊颈都为圆柱 体，若以过轧辊中心线的子午面为剖面（图3） 在子午面上以平行于r轴和z轴的直线刘分成 矩形单元。显然不同角上剖面的单元划分是 一样的，可以由0=0这一剖面来代装。 采用四结点等参数单元 图3 u n w.U. {8n}= ∑N,V (6) 4 W A N,Wn 186

乏 。 。 乏 。 。 。 吕 ︸乏 · ︺﹃艺乏 · ︺乏艺 、、， …… 、 口 皿 … ， 乙 。 、产护 … 、 ， 卜 … ’ ‘ … · …… 艺‘ · “ ” 艺‘ 。 · “ ” 艺‘ · ” ” 这里一 ” 。 ， · ， · ， ， ， 。 … … ， … … 都只 是 和 的 函数 ， 和 。无 关 ， 这 样 ， 一个三维间葱可 看 成 由 个二 维 问题 迭加 而 成 ， 如果 用一 般 的 三维 有 限 元 来 计算轧辊 ， 因为轧辊 在 三个方 向上的尺 寸属 同一 量级 ， 势必 造成 结点很多 ， 刚度矩 阵 的 带宽很大 ， 需要 大 型 计算机才 能胜任 ， 而 且计算时 间长 ， 费用高 ， 算机就 可完 成 ， 费用 也约缩 到可 以 接受 的 范围内 。 对板 材轧机的 轧辊 ， 辊身和辊颈 都为圆柱 体 ， 若 以 过轧 辊 中心线 的 子午面 为剖面 图 在 子午 面 上 以 平行于 轴 和 轴 的 直线 划 分成 矩 形 单元 。 显 然 不 同 角上剖面 的单元 划 分是 一 样 的 ， 可 以 由 这一 剖面 来代 表 。 采 用 四 结点 等参数单元 现在 变为 个二 维 问题 来计 算 ， 用 中型 计 、 ‘、 、产 ，‘ ，‘几， 一 心‘ 八‘︸ 、，护

N,=1+5:51+m:m) (i=14) (7) 由最小势能原理可以得到和(1)类似的式子 {kn}{δa}={fn} (8) 其中{8。}一由(2)式第n展开项的系数un,vn,wn构成的位移列阵。 {fn}一由(5)式第n展开项的系数f:n,「，[zn构成的负荷列阵。 〔kn)一第n展开项的刚度矩阵。 〔kn)=E(kn) 单元刚度矩阵 (kn11,kn12,kn13,kn14 kn21,kn22,kn23,kn24 〔kn)°= kn31,kn32,kn33,kn34 (8) knsi,kn42,kn4s,kns 其中 h11,h12,h13 kni= h21,h22,h23 (9) (h31,h32,h33 (i,j=1~4) =(+2G)(+B(Bn(+B)+aBnC Ga +λ5(3+Bm)C,+abA:(入+2G+nG) 12 4(3+Bn)(h-G:)+ab(+3G)aA h1-an:+G:m,)+合8B:(an:+Gn,)+沿(B+3m, 3+B)(h-G:)+nab(+3G)Ai hrB(+B)+CB-(+B)C Ga Ga2 (10) +bGB(3+Bm)r+〔n2(入+2G)+G)abA +128 h=2(3+B(m1-Gn,) h1=12n:2B:+3》+(x5:+G5:n+9B, a入 a=2(3+5:5An,-Gm） b=280合，r,8+8+c+8(3+B,) +nGabAi 187

乏 。 。 乏 。 。 。 吕 ︸乏 · ︺﹃艺乏 · ︺乏艺 、、， …… 、 口 皿 … ， 乙 。 、产护 … 、 ， 卜 … ’ ‘ … · …… 艺‘ · “ ” 艺‘ 。 · “ ” 艺‘ · ” ” 这里一 ” 。 ， · ， · ， ， ， 。 … … ， … … 都只 是 和 的 函数 ， 和 。无 关 ， 这 样 ， 一个三维间葱可 看 成 由 个二 维 问题 迭加 而 成 ， 如果 用一 般 的 三维 有 限 元 来 计算轧辊 ， 因为轧辊 在 三个方 向上的尺 寸属 同一 量级 ， 势必 造成 结点很多 ， 刚度矩 阵 的 带宽很大 ， 需要 大 型 计算机才 能胜任 ， 而 且计算时 间长 ， 费用高 ， 算机就 可完 成 ， 费用 也约缩 到可 以 接受 的 范围内 。 对板 材轧机的 轧辊 ， 辊身和辊颈 都为圆柱 体 ， 若 以 过轧 辊 中心线 的 子午面 为剖面 图 在 子午 面 上 以 平行于 轴 和 轴 的 直线 划 分成 矩 形 单元 。 显 然 不 同 角上剖面 的单元 划 分是 一 样 的 ， 可 以 由 这一 剖面 来代 表 。 采 用 四 结点 等参数单元 现在 变为 个二 维 问题 来计 算 ， 用 中型 计 、 ‘、 、产 ，‘ ，‘几， 一 心‘ 八‘︸ 、，护

其中符号 ,门，，门，一为单元上结点i,j在局部坐标中的坐标值。 2a,2b一为真实单元在z向和r向的边长（图4）。 r。一单元的平均半径。 即 B,=5:51 B、=n,n) Cg=5,+ξ， Cn=n:+门1 dn =24a(3+B,〔C.+C.(C,-B,) (11)(1,-1) 3■ Co=In Tota 1 ro-a C1=2-C。 (-1,1)(-1,1) G,入一为拉梅常数 图4 E Eμ G=2(1+4),λ=a+)1-2μ) 单元刚度矩阵（8)为12×12的方阵，并应注意到(9)中h11,h22,h33和n有关， h2,h21,h23,h3z和n有关。 在轧辊的计算中只有表面力的作用，暂不考虑热负荷的影响，因而单元的负荷列阵为 4f)=((N)T4f}Rdz (11) 若面力作用于单元的2~3边上，且为均匀分布（图5a),则(11）式经积分后得 {fn}°=〔0,0,0，q:n,qgn,qzn,q:n,qen,gzn,0,0,0)T ×Rb (12) 若2~3边上有线性分布的方载荷（图5b),则(11） (a) 式积分后 i=0,00号q+9号+ 2 3939n, 26 2 1 1 21 2 922n+3932,3921n+33m,3920a+3930, 892n+ 1 (b) 393zn,0,0,0)TRb (13) 其中R一2~3边的半径。 2b (12)和(13)式相当于把面载荷的合力(q1+q2)2b乘R 后按静力学原理分配到2,3点上去，1,4点不受影响。 图5 由〔K),{fn}以及(8)式可解出{δa},若位移，应力，载荷按(3)~(5)式版 开到n1项，则子午面上任一点的总位移为 188

其中符号 乙 ‘ ， ‘ ， 毛，， ” ， － 为单元 上结点 ， 在局 部坐标中的坐标值 。 ， － 为真实单元 在 向和 向的边 长 图 。 。 － 单元 的 平均半径 。 以， 甲 万 乙 ‘ 自 一 、 息 ‘ 息 ， 。 二 息 ‘ 七， ， ， ， ， 月 ‘ 月 题 ‘ ， 见三毕 ‘ “ ‘ 蠢 ， 〔 。 一 ，〕 。 二 一 一 。 ， 入－ 为拉梅 常数 右 ” 一 ， 一 ，一 图 件 久 卜 件 一 卜 单元 刚度矩 阵 为 的方 阵 ， 并应 注意 到 中 ， ， ， ， 和 “ 有关 ， ， ，， ， 和 有关 。 在 轧 辊 的计算 中只 有表面 力的作用 ， 暂 不 考虑 热 负荷 的影 响 ， 因而单元 的 负荷 列 阵 为 、“ ’ 〔 〕 ’ “ · ， 若面 力作用 于 单元 的 边 上 ， 且 为均匀分布 图 ， 则 式 经积 分后得 引上下 韶曰四 王 〔 ， ， ， 。 ， 。 ， ， ， ， ， ， ， ， 〕 若 边 上有 线性 分布的 方 载荷 式积 分 后 图 ， 则 玉 〔。 ， 。 ， 。粤口 不 ， 万口 、 。 ， 口 了 副上丁 了 ， 叭 一 百 一 。 ， ， 〕 下 一 一万 公 其 中 － 、 边 的半径 。 和 式 相 当于 把 面 载荷的 合 力蚤 乘 后 按 静力学原 理分 配到 ， 点 上去 ， ， 点 不 受影 响 。 由〔 。 〕 ， 。 以 及 式可 解 出 ， 若位 移 ， 应 力 ， 开到 项 ， 则 子午面 上任一 点 的 总 位 移 为 图 载荷按 式展

n 1 U= U,o8n9 a-0 V-∑v:sinng (14) -0 W=∑Vc9 n-0 用不同的坐标值代入，即可得整个轧辊的位移场。 根据{8m}也可求出单元内任一点相应于第n展开项时的应力 HGa=(Grn,Gon,G:n,Tezn,Tzrn,Tren]T (15) Orn= {(2G+I+入)u+入nIva+入Iw:…} i=1 4 oga=∑{(2G+)I+I)u:a+(2G+)nIv,+入Iw,n} 02a=∑{a(1+I)ua+n入Iv:n+(2G+)Iw1n} 1- (16) ta=∑[GIva-aGIm] 1=1 ∑[GI:+GIw] T r- -G-. 其中 1=5:1+m,) 1=hn.1+5,5) i=1~4 1 重=40r,+aE)(1+5:s)1+n,n) :,1:,ξ，门一各门为角点i(i=1~4)和单元内需要求应力的某一点的局部坐标值， 见图4 a,b,r。一一为单元的几何尺寸。 u,n,y:n,w:n一一为第n展开项时单元的角点i(i=1~4)上的位移值。 把{oa}按(4)式由0~1求，并根据不同的角代入，即可得到整个轧辊的应力场。 三、面载荷的处理和程序设计 轧批所受载荷竹径向q,和周向q两个分量，通常轴向分量9z=0。 径向线荷q,行两类：辊身上受到的轧件和支承辊对它的压力，辊颈上受到的轴承反 力和反弯力，它们的分布都比较复杂，特别是轧件对轧辊的压力随轧制条件（压下量，摩擦， 张力等)的变化有很大的变化，根据(5)式把径向面载荷按富氏级数展开 189

、 鱿 艺们 二 ︺艺。 一 艺 · ， ” 川 不同的 坐 标 价 代入 ， 即可得 整个轧 辊 的 位 移场 。 根 据 各 。 也可 求 出单元 内任一 点 相应 于 第 展开 项 时 的应 力 〔 ， 。 ， ， 。 ， 「 ， 『。 〕 一 艺 〔 入 ， 入一〕 ‘ · ‘ 一 ‘ · ‘ ‘ 。 〔 ‘ 一 “ 〕 ‘ · 入， 一 入， 入 一 ‘ · ‘ 一 ‘ · 入，， ‘ 下 ‘ 乏〔 ‘ 一 一〕 一 乏 ，· ， · ， ‘ · 〕 泣一 几 一 乏卜 · “ ， … ，一 一 一 方、 ‘ 。 。 、 闷 〔 一 … 丫 … ， ， ‘ 百弓一 一 百一 不万一 十 氛 ， 住 气 卞 屯 尹 ， 毛 ‘ ， ， ， 是 ， － 各’ 为角点 和单元 内需要求应 力的 某一 点的局 部坐标 值 ， 为见 图扫 ， ， 。 － 为 单元 的 几何尺 寸 。 ‘ 。 ， ‘ 。 ， 、 、 － 为第 展 开 项 时 单元 的 角点 一 上的 位 移 值 。 把 毛 。 按 式 由。 一 求 和 ， 并根据 不 同的 角代 入 ， 即可 得 到 整个轧 辊 的 应 力 场 。 三 、 面载荷的处 理 和程序设 计 轧棍所 受 向 载荷 有径 向 「和 周 向 。 两 个分 量 ， 通 常轴 向分 量 。 。 径 向 向找荷 汀 两 类 辊身 上受到 的 轧 件和 支承 辊 对 它的 压 力， 辊 颈 上受 到 的 轴承反 力 和反弯 力 ， 它们 的 分布都 比 较 复 杂 ， 特 别 是 轧件 对 轧辊 的 压 力随 轧制 条件 压下 量 ， 摩 擦 ， 张力等 的 变化有很 大 的 变化 ， 根据 式 把径 向 面 载荷扶富 氏级数展 开

a 1 q:0=+∑qnc08n0 (17) 2 2( q:(e)co8n0d日 (18) n=0,1,2,…n1 α一一接触弧长所对应圆心角的一半。（图6） 如果径向面载荷q,()有较可靠的实验数据可按(17)(18)式求出 9:,但要实测q,()的技术要求很高，费用昂贵，在大多数情况下 很难达到，建议对轧辊和轧件间的径向载荷采用下述函数关系： q:=9100200 (0≤0≤a) (19) =0 (a≤0≤π) 对四辊轧机的工作辊当辊身截面的两端都有径向压力时（如图6）可 采用 图6 q i COS- 29 (0≤0≤a) (20) 9:()= 0 (a≤0≤中) q:oB0(≤0< 中+B=π B一支承辊和工作辊接触角的一半，（19)，(20)式中q1和9z的值可按 P=2 qr (cos0d0 (21) 求得，y分别为α和B,p为在(z向)单位长度上的径向压力，它是个已知最。 对于在辊颈处所受的径向而载荷可作同样处理，q,()的函数关系可取 9:)=q:o820(-8) (中≤0≤π) (22) =0 (0≤0≤中) 对滚柱轴承可取日=分，中=2，对滑动轴承可取B=。,中=8 对于周向面载荷q。()(在轧辊上轧件对轧辊的摩擦力)可按下式展开 a 1 qe(0)= ∑i0 (23) a▣1 qon=- J9e(e)sinnd0 (24) 0 n=1,2,…n1 和q,()的讨论一样q。()可按实测数据或根据实际情况假定一个函数分布，例如在接触弧 的前滑区或后滑区可认为摩擦力按直线或按二次曲线分布，然后按(23)(24)式确定q:n。 面载荷按(（5)式展开，各展开项的系数可以由程序计算出来。 运用上述原理并主要针对钢板轧机的轧辊计算编制了计算程序，简称S-NSL程序，程 序使用ALGOL-60语言。在TQ-16型电子计算机上实现。由于容量求较大需使用外部设备 190

， 。 ︸芝 。 已 ， 一 二尸 宁 艺 。 日 ， 。 … － 接触 弧长所对应 圆心 角的一半 。 图 如果径 向面 载荷 ， 。 》 有较可 靠 的实验数据可按 式 求 出 ， ， 但要 实测 的 的 技术要求很 高 ， 费用 昂贵 ， 在大多数情 况下 很 难达到 ， 建 议对轧辊 和 轧件 间的径 向载荷 采 用下 述 函数关系 拾 《 《 兀 对 四 辊 轧机 的 工作辊 当辊 身截而的 两端都有径 向压 力时 如 图 一 叮 采 用 责 ” “ 、 ” 、 《 《 小 、 了， 。 · “ ‘纂里 小 ” 、 · ， 小 日 。 日－ 支承辊 和 工作辊 接触 角的 一半 ， ， 式 中 ，和 的 值可按 小 、 。 ， ” ” 求得 ， 分 别 为 和 日 ， 为在 向 单位 长 度上的径 向压 力 ， 它是 个 已 知 最 。 对于在辊 颈 处所 受 的径 向 而 载荷 可 作 同样处 理 ， ， 》 的 函数 关系可 取 ‘ · ，一 命 ‘ “ 一 ” ， 小 动 《 小 对 滚柱轴承可 取 日二 丁 小 兀 ， 、 。 ， ， 兀 ， ， 对 消动 细 承 叫 取 。 ， 中 一 。 兀 ‘ 对于周 向 面载荷 。 。 》 在轧辊 上轧件对轧辊 的摩擦力 可按下式展 开 乏 。 。 · “ 众 》 ” 。 ， ， … … 和 ， 的讨 论一 样 。 。 可按 实测数据 或根据 实际情况假定一 个 函数 分布 ， 例 如在 接触 弧 的 前滑 区 或后 滑区 可认 为摩擦力按 直线或按二 次 曲线 分布 ， 然后 按 式 确定 。 。 。 而 载荷按 式展 开 ， 各展 开项 的 系数可 以 由程序计算出来 。 运用 上述原 理并主 要 针 对婀板 轧机的 轧辊计算编制 了计算程 序 ， 简称 一 程 序 ， 程 序 使用 一 语 言 。 在 一 型 电子计算机 上实现 。 由于容量求较大 需使用 外 部设 备

鼓或带。 程序根据轧辊的辊身和辊颈在z向和r向的单元数自动形成图3的计算网格和结点坐标， 减少了准备数据的工作量，每个展开项的{8m}和{on}需存于外部设备中，在计算总的位移 和应力时逐项调用，程序的主要输出结果是：子午而上冬点在n=0~1各展开项时的位移 {òn}和应力{·n},以及在给定不同0角下，子午面上各结点的总位移{δ}和总应力{g}。 四、算例 为了考核基木原理的适用情况，程序设计的可靠性和计第精度，通过：个算例加以考证。 1.厚壁筒受内压 严壁例筒可看作为一个没有辊颈部份的中 空轧辊，它在内压作用下的径向位移和应力有 精确解答，可按公式计算出来，并与S-NSL 序训第的结果相比较，这时单元刘分如图7、 径向（父分6个单元，约束尔件使厚壁圆筒处于 平应变东件下，筒内壁作用有面载荷q,=p =2公斤/毫米2，q。=q2=0,按(17)式把 q,胫开时只有n=0一项。理论值和用S-NSL 程序计算结果的比较见专1。 图7 表1 r(毫米) 150 175 200 225 250 275 300 径向位移 理论值 272.381 241.134218.730202.222 189.842 180.462 173.333 1×104毫米 有限元值 271.148240.119217.856201.445189.134179.806172.717 周向应力 理论值 3.3333 2.6258 2.1667:1.8518 1.6266 1.4600 1.3333 0 公斤/毫米2 有限元值3.17092.5875 2.1422 1.8350 1.6143 1.4506 1.3439 径向应力 理论值 -2.0000-1.2925,-0.8333-0.5185-0.2933-0.1267 0 公斤/毫米：： 有限元值 -1.9909 -1.3507-0.8668-0.5392-0.3069-0.1361-0.0268 2.四辊轧机的工作辊 四辊轧机的工作辊D (图8)？到轧件支撑批 的力。若研究一种简单督 况：①暂不为虚工作辊受到 的扭摩擦力。②轧件 (a) 支撑辊对1工作辊的压力在0 方向的分布新人小、两者相 同，在z方向都是均匀分布 图8 (b) 的。 191

鼓 或千告 。 程 序 根 据 轧辊 的辊 身和辊颈 在 向和 向的单元 数 自动形成图 的计算网格 和 结点 坐标 ， 减 少 了准备数据 的工作 量 ， 每个展 开项 的 乙 。 和 。 需存于 外 部设 备 中 ， 在 汁算 憋的 位移 和应 力 时逐 项调 用 ， 程 序 的 主 要 输 出结果 是 子午 面 上 各 汽在 二 。 各展 开项 时 的 位移 各 。 和应 力笼口 ， 以 及在给定 不 同 角下 ， 子 午面 上 各结 点 的 总位 移 乙 和 总应 力 。 四 、 算例 为了考 伙垫术原理 的适 用情 况 ， 程 序 没计 的可 靠性 和 计算 精度 ， 通 过 三个 算例 加 以 考证 。 厚 壁 简受 内压 厚 壁 圆 筒可 看作 为一 个没 有辊颈 部份 的 中 空轧辊 ， 它 在 内压作用 下 的径 向位 移 和应 力有 书 ， 确解 答 ， 可按 公 式计算 出来 ， 并 与 一 程 序 计算 的 结 果 相 比 较 ， 这 时单元 划 分如 图 、 径 向 仪分 个单元 ， 约 束 条件 使厚 壁 圆筒处于 平 而应 变 条件下 ， 筒 内壁作用 有面 载荷 二 公 斤 毫 米 “ ， ， 按 式 把 ， 展 开时只 有 二 。 一项 。 理 论 值和 用 一 程序 计算结果 的 比 较见 岌 。 表 图 毫 米 理 论 值 有 限元 值 。 … 。 。 一 … 云百丁丽 一 丽万三诬下爪…下 … … · ， 。 · 。 … ， 径 向位 移 ， 一 ‘ 毫 米 周 向应 力 … 公 拼飞米 径 向应 力 理 论 值 … 有限 元 位 … … 。 理 仑值 一 · 。 … 一 ， ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ” 。 “ 门甘︵ 一 口 公斤 毫米 、 有 限元 值 一 一 一 一 一 一 四 辊 轧 机 的工 作 辊 四辊 轧机 的 工 作 辊 图 受到 轧件 和 支撑辊 的 仄 力 。 若 研 下己一 种 简单情 况 ① 哲 不 考 虑 工作 辊 受 到 的 扭 知 和 摩 擦 力 。 ②轧件 和 支撑辊 对 一 几作辊 的 压 力在 方 向 的 分 布和 人 小 两者 相 同 ， 在 方 向都是 均 匀分布 的 。 图 工

在这种情况下，工作辊D的受力可以简化为一个圆盘两端受集中力作用的平面应变问 题。这问题在弹性理论理也有解析解(7)。圆盘在半径OA上某点的径向应力为 0,(OA)= 2p.-d) （a-r2 (25) π 半径OB上某点的周向应力为 oy=君1-（a4 4d2 (26) 其中d一圆盘直径。（相当于例2中的辊身直径）。 r一某点到圆心O的中距离 r1.r2一某点到两个集中力作用点A和C的距离。 在平面应变情况下OA上的径向位移为 n1+25 u-fe.dr (27) 0 d1-2 d E E=1-μ2 u'=1-μ 用S一NSL程序计算时，辊身直径两端的集中力用呈三角形分布的面载荷代替（图8b): 且取a=50,中=r-a,这时面载荷的函数表示式g,=f() b(1-x)(0≤x≤π) 1 f=1 a(x-中)（中≤x≤π） 0 其余 由分布力的合力等于P求出b p-2ffRdx-2ffoRdx b=p/Ra 计算时用p=1000公斤/毫米2，R=100毫米，展开项数目n1=24、按(17)(18)展开时， 展开式的各项系数为 9,026 4b qrn=a*n(-1)°(1-cona)n为偶数n≠0 qrn=0 n为奇数 然后按(12)式计算出单元的负荷列阵、表2列出不同的几所对应的面载荷展开项q:n,可 以看到q,n随n的增大衰减得很慢。 例2的计算结果以及和解析解的比较见表3。 192

在 这种情况下 ， 工作辊 的受力可 以 简化为一 个 圆盘两端受集中 力作用的平而 应 变 问 题 。 这 问题 在 弹性理 论理 也有解析解 。 圆盘在半径 上某点的径 向应 力为 。 ， 、 。 人 ， 一 梦 工、 半径 上某点的周 向应 力为 一任今一 一 刁‘ 毛 通 少 一 、 “ 沪 其 中 － 圆盘 直径 。 相 当于例 中的辊身直径 。 － 某点到圆心 的 中距 离 － 某点到两个集中力作用 点 和 的距 离 。 在平面应变情 况下 上的径 向位移为 ， 二 旨〔“ 一 协‘ ’ 奋 ， 性‘ 一 音 声 一 件 林， 卜 一 件 用 一 程 序计算时 ，辊身直径 两端 的集中力用 呈 三 角形 分布的 面 载荷 代替 图 ‘ 且取 。 斋 ， 小 二 一 。 ， 这时 面载荷的 函数表示 式 ， 。 、 ， 口 ，一 二 ， ‘ ‘ 《 “ ， 小《 《 二 一 妇 一 、 由分布力的 合 力等于 求 出 ， 其余 “ 》 计算时用 二 公斤 毫米 名， 毫 米 ， 展 开 项数 目 、 按 展 开时 展开 式 的 各项 系数为 ， 。 丽 一 ‘ “ 不石 杯万 一 一 为偶数 笋 然后 按 式计算 出单元 的 负荷列 阵 、 以看到 。 随 的 增大 衰减得 很慢 。 为奇数 表 列 出不 同的几所对应 的 面 载荷 展开 项 ， 。 ， 可 例 的计算结果 以 及和 解析解的 比较见表

表2 由(17) (18)式计算得到的g,n×10~·公斤/毫米 0 12 18 24 30 30 例2a= 、 50 636.620 629.116 615.949 607.026 524.759 468.068 π 例3a= 90 792.866 795.565 782.720 766.511 744.231 1716.280 表3 r/R 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 径向位移 理论值 0 0.4748 0.9609 1.4713 2.0222 2.6366 -u×10名毫米 有限元值 0 0.4727 0.9557 1.4619 2.0069 2.6122 径向应力 理论值 9.5493 9.6779 10.0798 10.809 11.975 13.793 0,(oA)公斤/毫米2 有限元值 9.6254 9.6904 10.0841 10.806 11.964 13.760 周向应力 理论值 9.5493 9.2884 8.5887 7.5335 6.2791 4.9656 一0。(oB)公斤/毫米2 有限元值 9.9327 9.5017 8.7356 7.6343 6.3469 5.0103 r/R 0.6 0.7 0.8 0.9 径向位秒 理论值 3.3514 4.2335 5.4309 7.4134 -u×10.-2毫米 有限元值 3.3107 4.1585 5.2827 6.9794 9.0185 径向应力 理论值 16.771 21.782 32.185 63.829 一0，(0A)公斤/毫米2 有限元值 16.618 21.699 31.663 41.829 52.195 周向应力 理论值 3.7008 2.5519 1.5508 0.7033 0 -0。()公斤/毫米2 理论值 3.7245 2.5860 1.6342 0.0695 0.9344 3.四辊轧机的支撑辊 以北京钢铁学院轧钢厂四辊轧机的支撑辊为例进行变形和应力计算。支撑辊的尺寸！单 元分割如图9，轧制压力p=80T,支撑辊和工作辊之间接触区圆心圆的一半取为a=90, π 视颈上滚轴承的支排角度的一半取为=受，2=0~170毫米为轴承支承的面载荷作用区 7=260~360毫米为辊身上面载荷作用区*，两种面载荷在日方向认为是余弦分布的。在z方 向为均匀分布的，辊身上面载荷按(17)(18)式展开后n和q:n的对应关系见表2，可以 看到q,n随n的增加而衰减的速度比例2更慢，计算取n1=25,计算结果列出0=0°，日=180° *注面载荷应作用于全部辊身长度上，为便于考察轧辊弹性压扁的情况以z=260~360 毫米为载荷作用区进行计算。 193

表 由 式计算得 到 的 ， 。 一 公斤 毫来 诬 例 二 … ‘ 兀 … 一 例 。 下 表 。 。 · 。 。 …。 “ · · · 径 向位移 一 一 么 毫米 径 向应 力 一 。 ， 公斤 毫 米 名 周 向应 力 一 。 。 。 公斤 毫米 理 论位 有 限元 值 理 论 值 有 限元 值 厂 一 厂 。 。 。 州 … 。 … 。 · ‘ “ 理 论值 一 一口 一曰，自，孟任 ﹄一口尸陈伪 一厂卜 有 限元 值 径 向 位 秒 理 论值 ︹ 一 协一 一 一 甘﹄门 一 毫 米 有 限元 值 径 向应 力 理 论值 一 仃 ， 。 、 公斤 毫 米 有 限元 值 众口‘， ︸ 己 口 ‘，且 趁 周 向应 力 一 。 。 公斤 毫 米 · · ” · 。 。 理 论值 四 辊 轧机 的支摊 辊 以北 京钢 铁学院 轧钢 厂 四辊 轧机 的 支撑辊 为例进 行变形 和应 力计算 。 支撑辊 的 尺 寸和 单 元 分 割 如 图 ， 轧 制压力 ， 支撑辊 和 工 作辊之 间 接触 区 圆心画的 一半取 为 。 一 二妙 于 一 毫 米为轴承 支承 的 面 载荷作 用 区 北一 辊 颈 上滚 轴 承 的 支撑 角 度 的 一半 取 为日二 二 一 毫米为辊身上面 载荷 作用 区 ， ， 两种 面 载荷在 方 向认为 是 余弦 分布 的 。 在 方 向为 均 匀分布的 ， 辊身 上 面 载荷按 式 展 开后 和 ， 。 的 对应 关 系见 表 ， 可 以 看到 。 随 的 增加 而衰 减 的 速 度 比 例 更慢 ， 计 算取 二 ， 计算结果 列 出 。 ， 二 “ 朴 注 面载荷应 作用 于全 部 辊 身长度上 ， 为便 于 考察轧辊 弹性压 扁的情况 以 二 奄米为载荷作用 区进行 计算 。 沐