關於哥西型積分及其唯一性

D0I:10.13374/.issn1001-053x.1958.01.018 關於哥西型積分及其唯一性 王鴻昇 (敦學教研缸) r.山.TyMapKru的論交1)，骨写出下列雨定理： 定理1.設f1(z)与f2(z)分别在z1内是解析的，且f2(∞)=0，要这雨. 个函数能用同一个哥西一司帝阶型积分 eiogeo) 2n 。ei0z 2红J 2元 表示，（其中a(0)是在〔0,2m)上的有界变差的复变函数：Id(0)川≤M),其必要且充分条 件是：存在有常数c>0,使得对于一切的r,（0<r<1),有 2π (rei)-f(Li)ld0<c 0 定理2. 要想解析于|z<1内的函数(z)能用一个哥西一司帝阶型积分 2 1 ei0aa(o) 0 表示，其必要且充分条件是：存在有这样一个線性粗合序列 m {.(0)},5.(0)-=Z axe-iko k=1 2元 使得 7im∫lf(r.ei0)-r(0)ld0<的，(lim r=1) n→∞ n-00 0 若a(0)在〔0,2x)上是絕对速镇时，則 2元 1 eiodo(0) 10-z 0 e 可以化为哥西型积分 7e0g00=是.∫0a 0e0-z 5-z ||=1

阴 扑哥 西 型 精 分 及 其 唯 一 性 王 鸿 异 数拳教研组 厂 以 ， 二。 的 希文 〔刀 ， 曾写 出下列雨定理 定理 没 ， 与 分别在 内与 内是解析的 ， 且 二 ， 耍这雨 个 函数能用同一个 哥西— 司帝阶型积分 一 郎， 口 ， ， ， 、 一 达 里‘ 一些丛卫之 艺孔 口 一 表示 其 中 · “ 是在 〔 ，邪〕上 的 有界变差的 复变函 数 · “ 、 ， 其必耍且充分条 件是 存在有常数 ， 使得对 于 一切的 ， 劝 ， 有 孔 百 ， ’“ 一 ， ’“ 沙 定理 耍想解析于 内的 函 数 能 用丫个哥西— 司帝阶型积分 孔 ， 。 二 口 ， ， 内 、 」一 恤 一旦卫竺业竺 艺俄 口 一 表示 ， 其必要且充分条件是 存在有这样一个腺性粗合序 列 使得 郎歹 今 的 ‘ 、 “ ，， ， 、 “ 一 刀 、 一 ’ ， 。 一 二 二 ， 。 一 一 若 叹约 在 〔 ， 司 上 是艳对莲徽时 ， 孔 一 工一 爪 ， 一 可以化 为哥西型积分 口 ‘ 。 盯 誉 户‘ 口 ， 户 沈 一 夸一 么 弥 占 一 扣 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1958．01．018

--82— 鋼院學報 现在，我們也有必要研究一下，充什么条件下前面的雨个定理也类似的成：用于哥西型积 分。 若F1(z)与F2(z)分别地在|z|1与1z>1内是解析的，F2(∞)=0，且能用同-…个哥 西型积分 1 ∫f(e) 2红i .表示，则由 ||=1 F(rei)(ir 1-r2 0 立刻知道函数族 9.()=∫E(rei0)-F2(1ei)0 0 (0<r<1),在〔0,2π]上是等度絕对速籟的。由此直接看出了这个必要条件，现在应孩考 虑：函数族 w.()-f[F:(rei0)-Fz(Iei0)Jd0 0 (0<r<1),在[0,2r]上的等度絕对遵箱性是否是充分条件呢？ 若已知函数族 9 ,(o)=∫〔F,(rei)-F2(2 eiJda 0 在[0,2]上是等度稻对速箱的，0<r<1,闪为它是一致有界的，所以由Apyenaf的定理2)， 可以在其中选出某一了序列，使得 r.（o)=回） (1) 派且()在〔0,2)上是絕对蓮被的。 父因为函数族 ∫IF,(reic)-F2(ei1da 0 在[0,2元]上也是等度絕对速續的，並且有界，故 2元 F(reic)-F(Lei)ldac 0 而中(P)的全变蒸是 2n 2T ∫1d.(o)1=∫1F,(rei)-f2(eida 0 0 所以中，()的变差是行界的，即

一 铜 院 拳 报 现在 ， 我们也有必要研究一下 ， 在什 么条件下 前面的 雨个 定理也 类似的应 用于哥西型积 分 。 若 ， 与 幻 分别地在 川 一 与 引 内 是解析的 ， 二 一。 ， 且能用 同一个 哥 西型 积分 责 歹 钊 二 誉 誉 ’ 誉一 表示 ， 由 ， 刀 ， 产 艺 峨 今 ‘ “ 一 。 一 生 里“ 一户一 玉” 二 一 一 二一二愁弃三二下 二 一 二 。 一 艺兀 一 十 乙 一 艺 又口 一 切 夕 立 刻知道函 数族 ， ， 二 百〔 ， ’“ 一 ， 工 ，“ 〕 。 护 ， 在 〔 ， 幻 上 是等度艳对莲箱的 。 由此 直接看出 了这个必要条 件 ， 现在应 孩老 虑 函 数族 ， ， 二 〔 ， ’“ 一 。 一 工 一 〕 ， 在 〔 ， 叼 上 的等度艳对 莲值性是否 是充 分条 件呢 若 已 知函 数族 切 ‘ · 中，一 〔 · ‘ “ 一 ‘ 令 · ’ “ 〕 在 〔 ，尔〕上 是等度艳对 莲箱的 ， 匕 ， 可以 在其 中选出某一子序 列 ， 使得 。 ， ‘ 。 二，， 田 、 ， 二 、 二 ， ” 、 ， 中， 〔 〕 今 日 匕 二石 一上 尹 」夕 卜目 ， ， ’ 老仍 炸 尸 ， 。 忍。 ， 人二 决干 ， 价， 。 少 明 ，、 一 ’ 匕 姚 且 硕的 在 〔 ， 幻 上 是艳对 莲植的 。 又 因为雨 数族 ， 。 ‘ “ 一 工。 ’ “ 在 ， 叼上也 是等度枪对 述箱的 ， 亚 且有界 ， 故 盯 一 、 ’ “ 一 。 ’ “ 。，。 ‘ 〔 一， 而 必 所以 帅 的蚕变差 是 孔 郎 歹，‘ ， 、 ，，一 ’ “ ，一 香 ‘ ，， 价 灼 的桑变 差 是有界的 ， 邹

第五期 83 2n 「|dw.(o)l1。 根据(3)，知道下面哥西一司帝阶型积分也成立 0 由（1)，(2)可应用赫利定理，將上式取极限，得到哥西一司帝阶型积分 2xeid地.(p）. limG.(z)=lim1 2Te9aw(o） 当|z+1 rn→1 r1x0.9-z 2J 但在(1)之后已提过，中()在〔0,2)上是絕对連的，所以此哥西一司帝阶型积分可 变为哥西型积分 2红 i9(a)=「=品i手，》a《7) o eiv-2 2πi =1 由(6)艾可得到

第 ， 五 期 一 一 ， ， 现在考虑下面 哥西— 司帝阶型积分 ， 腼 二 ‘ 伊 一 一郎 沙歹 由 价 丈少 在 〔 ，肛〕 上 的艳对 速植性 ， 将 化 为哥西型积分 及 ‘ ， 、 一 〔 、 一 ， 一 二 ‘知 。 几乎处处 可 一 孔 叭 ‘ 月 尸 ， 丫一 护 一 一 一 卜 孔 护。 ， 切 、 气二 少 一 一 一 了一 一一 — 一一 梦 明一 即 郎歹 因为 ， 当 ” 一二， 时 ， · 在 ，· ‘二‘ 上 是解“于的 ， ， 乙 · 在 ，· ，全 上 也 是 解 析 的 ， 、。且‘ ， 一 ， 故 与 · ，、 一 用 哥西 积分表示 ， 得到 一 面的等式 、 里 了、 、 、 、夕 、才，才飞 兀 ‘ 沉 盯 ’ 沪 ， ’ 梦 职 护 一 ，沪 。 立 。 ’ 职 。 少 护 一 ‘ 玉 当 引 ， 当 当 二 ， 当 户 尔 由 与 得到 ， 劝 ， 蚕 一 ， 根据 ， 知道下面 哥西 一司 帝阶型积分也 成立 当 川 当 、 一 一艺孔 场 。 ‘ 忘 ‘ 一 由 ， 可应 用赫利 定理 ， 游上式取极限 ， 得到哥西一司 帝阶型积分 、 郎 尔歹 一， 。 今 舰 么 二 一、 才腼 、 一 回 生兀 梦 沪 ， 沪一 当 传 但在 之后 已提过 ， 沙 力 在 〔 ， 叼 上 是艳对逮披的 ， 所以 此哥西‘ 司帝阶型积分可 变为哥西型积分 、一工﹂‘ ︸、了 ‘ 一﹃、 考几孟 、 。 二 下 ，主伙， 恤 、 ‘ 尔 名 ‘ 一 “ “ ‘ 、 广 誉 由 又可得到

一84- 钢院學報 F1(z) 当z1。 最后由(7)，(8)得出哥西型积分 1 f()d5 (F,(z) 当|z|1内是解析的，F2(∞)=0，則 F1(z)与F,(z)用同一个哥西型积分表示的充分与必要条件是函数族 .(o)=∫〔F1(reio)-f,(2 ei@)]d@ 0 在〔0,2)上是等度絕对蓮速籟的，0<r<1。 当然，我們也可以骰法將「.山.TyMapKHH的定理2应用于哥西型积分，同样考虑等度 稻对连精性这个条件。但正确与否，还需加以正明， 定理2，設F(z)是罩位圈内的解析函数，則F(z)可用哥西型积分表示的允分与必要 条件是可以找到这样一个線性粗合的序列{元(0)}，元(0)=a1e一i0十a2e一2i0+… +&ne-in,使 中n(0)=∫〔F(reia)-r(e)]da 0 在〔0,2]上是等度絕对速稹的函数序列， limrn=1 n→0 証明必要性： 若F(z)可以用哥西型积分表示，則根据B.H.CMHPHOB的定理〔2)，知道(z)是屬 于H:类函数，共中是任一小于1的正数，于是 LimF(rei)=F(ei0)18 n-00 在〔0,2x〕上几乎处处成立，並且 2n 2红 iim「lF(rn@ic)da=∫lF(ei1dc n-→00 0 于是应用函数序列逐項积分的剁别准則，可以知道 ∫IF(reic)ida 0 在〔0,2x)上是等度絕对速籁的函数序列 现在取線州：粗介元.(0)=a1e一i0+a2e一2i0 +…+ane-in0,使

一 一 翎 院 擎 粗 、 一 ’ 、 当 当 。 最 后 由 得 出哥西型 积分 ， 当 当 〕 ， 由此 ， 我俩 可以 写 出下面 的 定理 ‘ 定 理 ‘ 投 与 分别 地在 与 内是解析的 ， ， 的 ， 具珍 与 幻用 同一 个 哥西型 积分表示 的 充分与 必耍条件 是函 数族 价 · 中，一 〔 ， “ 一 工 “ 〕 。 在 〔 ， 叼 上 是等度艳对 莲植的 ， 当然 ， 我们也可以 投法将 以 的 定理 应 用于哥西型积分 ， 同样考虑等度 艳对莲擅性这个条 件 。 但正确与 否 ， 还需加以 敲明 。 定 理 ’ 敲 是 翠位 圆内的解析函 数 ， 可 用 哥西型 积分表示 的 充分与 必耍 条 件是 可以 找到这样 一 个腺性粗合的序 列 二 ， 二 、 一 一 十 。 一 十 、 一 “ ， 使 ‘ “ ，一 〔 ，、 ‘ “ 一 、 〕 在 〔 ，即〕 上 是等度 艳对 德擅的 函 数序 列 ， 分 征 明必耍性 若 可以 用哥西型积分表示 ， 根据 ， 。 。 。 的 定理 〔 〕 ， 知道 幻是娜 于 类 函 数 ， 其 中 是 任一小于 的 正数 ， 于是 ，、 口 ‘ 一 “ 今 在 〔 ， 川 上 几乎处 处成 立 ， 益且 今 」 尔 ’ “ ，“ 一 。 ’ “ ” 郑 于是应 用函 数序 列逐项 积分的半 别 准 ， ‘ 可以 知道 ， · ‘ “ ，‘ 在 〔 哟 上 是等度 艳对 莲植的 函数序 列 现 在取 腺性粗合 二 ‘ 。 一 ， 一 口 ， 一 幻 十 … … 飞 一 色 使

第五·期 一85- |F(rnei0)-元n(0)≤1F(r.ei018 于是 ∫F(Feia)-rn(e)lda及∫tF(ei)-rn(e)de 0 0 在〔0.2x〕上也是等度絕对連被的。 关于无分性的証明与定理1'的充分性証明相同，也是利用，Apyena的定理，不同的 地方是利用了 2r i0 1_f:ern(02d0=0 2东 0 用类似的方法，也可以得到：把一个罩位圆丙的解析两数用哥西积分表示时的充分与必 要条件，在証明中只是在定理1'將F1(rei0)写作F(rei0),將 1=1-1ei0 写作雾，（因为哥西积分在z>1上恒等于零）就可得下面定理3'。 定理3.設F(z)z1上的解析函数，並且 F2(0)=0,若F,(reic)-E2(1eic,0<r<1,是均匀有界的，則E1(z)与F(a)可用 同一哥西型积分表示。 推論2.設F(z)是單位圆内的解析函数，若序列{F(rei)-元n()}是均匀有界 的，其中(0)=a1e-i0+a2e一2i0+…+ae一in;則F(z)可用哥西型积分表示。 推論3'.設F(z)在z|<1上是有界的解析函数，則F(z)可用哥西积分表示。 此推論用过去的方法可以直接得出，因引z|<1内的有界解析函数是碣于H1类函数。 由定理1'的証明中，知道在 1 f()de 2ni E-Z ||=1 中，儿乎处处f()=(),並且 lim(F(ri)-E:(1i)a rn-1

书 五 期 一 一 、 口 一 二 、 引 ， 。 君》 ‘ ， 口 ‘ “ 一 ，、 ， 及 〔 · ，、 ’ “ 一 二 。 ‘厂、 〕 ﹄以口广， 于是 在 〔 乖〕 上也是等度艳对 莲植的 。 关于充分性的 征明与 定理 ‘ 的 充 分性敲明 相 同 ， 也 是利 用 ， 。 的 定理 ， 不同的 地 方是利 用 了 竺宜丛丛丝 一 一 二 。 尔 尔 用 类似的 方法 ， 也 可以得到 把一个翠位 圆内的 解析函 数用哥西 积分表示 时的充分与必 耍 条 件 ， 在 征明 中只 是在 定理 ‘ 将 写作 ， 书 。 卜 ’口，一 壳 一 引 誉 誉 誉一 一 写作零 ， 因为哥西 积分在 川 上恒等于零 就 可得下面 定理 ‘ 。 定理 ’ 毅 上 的解析函 数 ， 刻 可 用哥西积分表示 的充分与必耍条 件是函 数族 ‘ ， 一 ’ “ 在 〔，即〕 ， 上 是等度艳对莲擅的 。 当然 ， 此 定理可以 由趁去的 方法遣接得到 ， 从上面三个 定理的桔果 ， 又可以 得到下面的 三个推渝 推渝 ‘ 投 飞 是 引 上 的解析西 数 ， 。 幻 是 上的解析两 数 ， 亚 且 空 ， 一 ， 若 ’ 一 幸 ’ “ ， ， · ‘ ， 是均 匀有界的 ， ” ” “ ，与 ‘ “ ，可 用 同一哥西型 积分表示 。 推萧 ‘ 毅 是 翠位圆内的解 析函 数 ， 若序 列 。 “ 一二 。 的 是均 匀 有 界 的 ， 其 中 二 』、 一，， 一 口十 ， 一 口 “ 一 十 氏 一 “ 气 可 用哥西型积分表示 。 推谕 ‘ 毅 在 引 上 是有界的 解析函 数 ， 剧 幻 可用 哥西积分表示 。 此推渝用过去的 方法可以 遭接得 出 ， 因 内的 有界解析函 数是属于 、 类函 数 。 由定理 ‘ 的征明 中 ， 知道在 尔 右 歹一 誉 妥 奋一 中 ， 儿乎处处 宁 一扩 哟 ， 龙 且 护︸， 试们 一 、 。 ， 〔 二 。 “ 一 ， 一 工 一 “ 〕而

一86一 翎院學報 利用这个结果，·將証明下面的唯一性定理。 定理4，若一哥西型积分 1 f1()d5 2ni 号一Z ||=1 与另一哥西型积分 f2(5)d 5-z 11=1 在|z1内都分别地代表同一解析函数F,(z)与F2(z),並且F2(∞)=0； 則f:()与f2()是对等的。 証明： f,()d5 (F:(z) 当z}1, 若 1 2 ∫ 专一2 ||=1 F2(z) 当|z>1。 則因为 ∫ (9u-2T生，oe ξ-2 I9=1 0 eiv-z =1 teiodv(o) 2x/6 甲一z ·0e 2红 2元 于是 ei9a地1() F,(xei0)-F,(ei0)=∫eoa,品- 2J 0 e 2元 1 1-r2 2r}1+r2-2rc0s(e-)d,(o) 0 2元 1-r2 1-r2 =1+r2-2rc0s0 40+元◆o品1+r-ao-0) 2江 0 2红 但 m10-0间=F(0-F:()-P,0) 2红 0 所以 E(e0y-R.(。0=1二sPo) 2π +头」1(o品1中2-0w 1 1-r2 0 E,re-R,c2ea=r,oj1+二icoea 0

一 一 栩 院 李 权 利用这个拮果 ， 将征明下面的 唯一性定 理 。 定理 ， 若一哥西型积分 ， 誉 誉 歹 普一 么 尔 与 另 一哥西型积分 卜 尔 ， 奋 登 登一 在 内与 内都分别 地代表 同 一解析函 数 ， 与 ， 韭且 ‘ “ 且 誉 与 份 是对等的 。 靓明 若 孔 誉 二 、 誉 誉 誉一 ， ， 。 当 〔 ， 当 邪歹 。 具 因为 一 一郎 孔 誉 二 ， 誉 誉 宁一 一旦望‘ 左宜当迎 沪 一 伊 户， ， 伊 一 么 郎歹 。 一 一邪 盯 郎。 于是 ‘二 ’口，一 幸 · ‘口 一 佘 歹气 切 价， 沪 一 一 尸 一 俄 与价 护 一 护 粉 一 即 ， 犷 一 十 一 价 二 一 价， 邵 尹 ’ 、 甲少万了 一 ， 。 一 一， ，一 叫 一 州 一丫一 一一二 一蔺一 丫 十 一 犷一 口 郎 但 价 ， 一 价 孔 一 余歹” 职，一 ， ，一 ，， ， ，一 ’ ， 所以 ， 一 ， 一 一 吕 一 、 产声 ， 郎‘ ， ， ， 十 厄五 一 钧 训少石石一 一 丁干砰二面而丽莎万刃 怕 护 歹 〔 · ，“ 卜 ， 吞 ’ “ ，〕 一 ‘ 巧亩聋氛丽

第五期 -87一 2t +(o[1+-2-0j1+二rcoe 2 0 根据普阿松积分性霞，将上式取极限，得出： 0 (0)=Lim f[F](rmeic)-F2(1eic)]da=mF1()+:(0)+e r.10 r 在〔0,2江]上几乎处处成立。同理可知(0)=πF,(0)+中2(0)+c于是中，(0)=中2(0)因为 1(0)=f,(),(0)=f2() 于是 f1()=f2() 在〔0,2不)上.几乎处处成立，此龙理的証明完毕。 参考文献 1.r.LI.TyMapKnH,06 HHTerpanax THna Koun--CTHnbTbeca,ycnexn MaT. HayK,T.M,BHn.4(70),(I956) 2.M.M.IIpnBanoB TpaHnYHbe cBoncTea aHannTKuecKnx yHKunn.M--n.1950

第 五 期 一 一 华 且 、夕 」一 一， 万二一 艺孔 一 空 一 甲 一 。 一 甲 ︸ 仁产 、， ︸ 职 、了 必 郎 护广， 根据普阿松 积分性贾 ， 将上 式取极限 ， 得 出 沪 二 “ 分 歹 〔 派 ‘一 ’ “ 卜 之 。 ‘ “ ，〕 一 ‘ 】 “ ， 一 十 · 在 〔 ，，〕 上 几乎处处成 立 。 同理可知 试 一二 ， 十 必。 于是 价， 沙 因 为 叫 一 ， 誉 ， 价二 苦 于是 钓 一 ， 约 在 〔 ，邪〕 卜 几乎 处处成 立 ， 此 定理的 敲明 完 毕 。 参 考 文 献 ， 以 ， “ 丁 日 川 一 月 ‘ ‘ ， “ 万 ， ， ‘ ， 日 ， “ 月玉王 认 月 王 中 工 一