南阳师范学院一数学与统计学院 C当n一中时.子是比片低阶的无方小 (17)下列结论错误的是() D:当x+0时，若sinr~tnx,则a=2 A:∈(-，+o,m sinx=sin B:limInsinx=0 (12)下列结论不正确的是( C.,).lim arccosx=arccos D:msgnxsgn 0是/了S=日的跳跃间斯点B:号是 的可去间断点 四、计算愿 tanx C:f(x)=cotx只有一个间断点 D:x=0是f)=simn上的第二类间断点 1.lim arcsin 品 (13)下列结论不正确的是() s 4ml+3amn2产 A若im名=a,则imo=a 益 5.lim. -”1 五、证明题 C着0气片则m=0 (1)下列数列收敛的是(） 1.证明函数f(x)= 在点x=0处连续. x>0 A:1-ll…,(-l sin I B:2,48…,2”,… x c是 僩 2.证明f八x)= 0 (sinx 在定义域内连续的充要条件是a=1, a+r',xs0 (15)下列数列发散的是() 3.设f(x)在0，上连续，且f0)=0,f)=1,证明存在5∈(0，)，使得f()=1-5 A如受 B=旷片 4证明四本2叶+a0 1 1 c54日 D:x.=n(-1)" (16)下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是() 5.设fx)在0,2]上连续，且f0)+f0+f2)=3,求证：存在5e0,2],使f八)=1 A:gx,(x→0） B:lgx,(x→+o) 6.证明方程x-3x=1在1与2之间至少存在一个实根. C:x2+l,(x→0) D:e,x→0) 第3页共3页南阳师范学院—数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 C：当 n → +∞ 时， 21 n 是比 1 n 低阶的无穷小 D：当 x → 0时，若sin tan ax x ∼ ，则 a = 2 （12）下列结论不正确的是（ ） A： x = 0 是 ( ) x f x x = 的跳跃间断点 B： 2 x π= 是 ( ) tanx f x x = 的可去间断点 C： f ( ) cot x x = 只有一个间断点 D： x = 0 是 1 f x( ) sin x = 的第二类间断点 （13）下列结论不正确的是（ ） A：若 lim , n n x a →+∞ = 则 10 lim n n x a + →+∞ = B： 0 1 lim 1 tan x x e → x − = C：若 1 0 nx n < ≤ ，则 lim 0 n n x →+∞ = D： 1 2 3 lim 1 2 1 x x x x + →∞ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + （14）下列数列收敛的是（ ） A： 1 1, 1,1, , ( 1) , n+ − − " " B： 2, 4,8, , 2 , " "n C： 123 ,,, , , 234 1 n n + " " D： 2 3 33 3 3 , , ,, , 22 2 2 n ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ " " （15）下列数列发散的是（ ） A： 1 sin 2 n n x n π = B： 1 ( 1)n n x n = − C： 2 1 5 n x n = + D： ( 1)n n x n = − （16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（ ） A：lg , ( 0 ) x x → + B：lg , ( ) x x → +∞ C： 2 x x + → 1, ( 0) D： 1 ,( 0 ) x e x − → − （17）下列结论错误的是（ ） A： 0 ∀x ∈ −∞ +∞ (, )， 0 0 lim sin sin x x x x → = B： 2 lim ln sin 0 x x π → = C： 0 ∀x ∈ −( 1,1) ， 0 0 lim arccos arccos x x x x → = D： 0 0 lim sgn sgn x x x x → = 四、计算题 1. ( ) 2 lim arcsin x x x x →+∞ + − . 2. 2 1 2 1 lim( ) x→ 1 1 x x − − − . 3. 3 0 tan sin lim 1 x xx x e → −− . 4. ( ) 2 2 0 lim 1 3tan cot x x x → + . 5. 1 lim 1 x x → − . 五、证明题 1. 证明函数 , ( ) 1 sin , x f x x x ⎧⎪ = ⎨⎪⎩ 00 >≤ xx 在点 x = 0处连续． 2. 证明 2 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x ax x ⎧⎪ > = ⎨⎪ + ≤ ⎩ 在定义域内连续的充要条件是 a =1. 3. 设 f ( ) x 在[0,1] 上连续，且 f (0) 0 = ， f (1) 1 = ，证明存在ξ ∈(0,1) ，使得 f () 1 ξ = −ξ . 4. 证明 22 2 11 1 lim 0 n→∞ n n nn 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + +⋅⋅⋅+ = ⎝ ⎠ ++ + . 5. 设 f ( ) x 在[0, 2]上连续，且 f ff (0) (1) (2) 3 + + = ，求证：存在ξ ∈[0, 2]，使 f () 1 ξ = . 6. 证明方程 5 x − 3 1 x = 在1与2 之间至少存在一个实根